[wiskunde] pythagorische drietallen

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Berichten: 27

[wiskunde] pythagorische drietallen

Als opdracht voor wiskunde hebben we de volgende vraag meegekregen:

Vind alle Pythagorische drietallen {x, y, z} met x+y+z=616. Laat zien dat er geen andere oplossingen zijn dan die je geeft.

Door een scheve aansluiting van het openbaar vervoer heb ik het hele eerste college gemist, waarin stof behandeld werd die betrekking had op dit onderdeel. Het enige wat ik weet is dat het deels over de Stelling van Fermat ging.

Het volgende heb ik zelf gevonden, waar ik deels mee aan de slag kan:
\(x = n^2 - m^2\)
\(y = 2mn\)
\(z = n^2 + m^2\)
\(m,n\in\mathbb{N}\)
\(n>m>0\)
Voor de kleinste waarden van m en n krijgen we:

m=1

n=2

Invullen:

x=2^2-1^2 = 4-1 = 3

y = 2*1*2 = 4

z = 2^2 + 1^2 = 4+1 = 5

Inderdaad een Pythagorisch drietal, want x²+y²=z². De waarde van x+y+z = 3+4+5 = 12... Ver weg van de benodigde 616.

Nu kan ik zo doorgaan tot ik ooit een Pythagorisch drietal vind, waarbij x+y+z=616, maar hoe doe ik dat zonder gebruik te maken van programma's of ellenlange tabellen op te stellen**?

** http://www.math.uic.edu/~fields/puzzle/triples.html -> Zo'n tabel. Ik kan hem zelf wel opstellen en uitwerken, maar of dat nou echt een geaccepteerde oplossing is... :eusa_whistle:

Tips zijn welkom ](*,)

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: [wiskunde] pythagorische drietallen

Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

Berichten: 74

Re: [wiskunde] pythagorische drietallen

misschien
\(x + y + z \)
vervangen door
\((n^2 - m^2) + (2mn) + (n^2 + m^2)\)
en dat gelijk stellen aan 616

Berichten: 27

Re: [wiskunde] pythagorische drietallen

Bedankt voor de link, heb het zelf op een ietwat andere manier gedaan nu:
\(g(p) = \frac{616}{p} : g(p),p\in\mathbb{N}\)
Geeft:

p - g(p)

1 - 616

2 - 308

4 - 154

7 - 88

8 - 77

11 - 56

14 - 44

22 - 28

etc.

616, en dus x+y+z, moet dan een veelvoud van één van die waarden zijn. Nu heb ik de manier met m en n gebruikt om steeds drietallen te vinden, met n=m+1, om x+y+z zo groot mogelijk te krijgen

n=4

m=3

Geeft:

x = n²-m² = 4²-3² = 7

y = 2mn = 2*3*4 = 24

z = n²+m² = 3²+4² = 25

x+y+z = 7+24+25 = 56

Uit die tabel volgt dat 11*56=616, en dus dat dit een goede oplossing is.

Nu moet gelden dat x²+y²=z². 7²+24² = 625 = 25²

Dit moet vermenigvuldigd worden met 11, om op een drietal uit te komen met als som 616.

x = 11*7 = 77

y = 11*24 = 264

z = 11*25 = 275

Kijken of x²+y²=z² nog steeds geldt; 77²+264² = 75625 = 275²

x+y+z = 77+264+275 = 616

{77, 264, 275} is dus één van de oplossingen. Andere oplossingen kan ik wel vinden als ik zo door blijf gaan, zij het op een langzame manier, maar hoe toon ik aan dat ik alle drietallen heb opgesomd?

Andere methodes om Pythagorische drietallen te vinden (via deze pagina) geven vaak niet alle mogelijkheden.

@Bvdz:

Als ik dat doe krijg ik:

(n²-m²)+(2mn)+(n²+m²) = 616

Dan zit ik nog met twee onbekenden... :­(

Berichten: 74

Re: [wiskunde] pythagorische drietallen

\(n^2 + n^2 - m^2 + m^2 + 2mn = 616\)

\(2n^2 + 2mn = 616\)

\(n^2 + mn = 308\)

\(m = \frac{308 - n^2}{n}\)


Nou kan je bij iedere n de m berekenen.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: [wiskunde] pythagorische drietallen

Bvdz schreef:
\(n^2 + n^2 - m^2 + m^2 + 2mn = 616\)

\(2n^2 + 2mn = 616\)

\(n^2 + mn = 308\)

\(n(n + m) = 308\)
Dus n is deler van 308.

Reageer