Springen naar inhoud

[wiskunde] lineaire differentiaaloperator


  • Log in om te kunnen reageren

#1

velgrem1989

    velgrem1989


  • >100 berichten
  • 228 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 september 2009 - 19:12

Bij een lineaire 2de orde differentiaalvergelijking met constante coefficienten, bijvoorbeeld met volgende operator:
D≤ + D + 1 , zijn er complexe nulpunten. Dit heeft als gevolg dat in eerste instantie een oplossing wordt gevonden met complexe e-machten. Dit wordt omzeild via de formule van Euler waardoor we algemeen volgende oplossing bekomen:

(A+B) e^(...) * sin(...) +(iA - iB) * e^(...)*sin(...)

vervolgens wordt A+B gelijk gesteld aan onbekende C1
en iA-iB aan onbekende C2

mijn vraag is nu waarom dit laatste mag , C2 wordt namelijk reeel verondersteld, maar waarom kan dit zomaar als iA-iB complex is???

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4172 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 28 september 2009 - 19:18

De vraag is mij niet duidelijk, overigens wordt er ook niets 'omzeild'.
Quitters never win and winners never quit.

#3

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 september 2009 - 19:24

Dit wordt omzeild via de formule van Euler waardoor we algemeen volgende oplossing bekomen:

(A+B) e^(...) * sin(...) +(iA - iB) * e^(...)*sin(...)

vervolgens wordt A+B gelijk gesteld aan onbekende C1
en iA-iB aan onbekende C2

Dit is niet echt wat men doet, want dan zou die coŽfficiŽnt inderdaad niet reŽel zijn. Toch klopt het resultaat, maar de reden is anders. Het feit dat de differentiaalvergelijking lineair is, betekent dat lineaire combinaties van oplossingen opnieuw oplossingen zijn, zie mijn bericht hier voor meer uitleg. Door gepaste lineaire combinaties te nemen, krijg je twee onafhankelijke oplossingen in reŽle vorm.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#4

velgrem1989

    velgrem1989


  • >100 berichten
  • 228 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 september 2009 - 19:56

Dit is niet echt wat men doet, want dan zou die coŽfficiŽnt inderdaad niet reŽel zijn. Toch klopt het resultaat, maar de reden is anders. Het feit dat de differentiaalvergelijking lineair is, betekent dat lineaire combinaties van oplossingen opnieuw oplossingen zijn, zie mijn bericht hier voor meer uitleg. Door gepaste lineaire combinaties te nemen, krijg je twee onafhankelijke oplossingen in reŽle vorm.

Dus, als ik het goed begrijp, beschouw je i.sin(b) als een lineaire combinatie van sin(b) , waaruit volgt dat niet enkel i.sin(b) een oplossing is maar ook sin(b)?

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 september 2009 - 19:59

Je hebt cos(b)+i.sin(b) en cos(b)-i.sin(b), eventueel met constanten ervoor. Tel ze bij elkaar op en je hebt cos(b) als oplossing (op een factor na). Vermenigvuldig met i en trek ze van elkaar af, en je hebt sin(b) als oplossing.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#6

velgrem1989

    velgrem1989


  • >100 berichten
  • 228 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 september 2009 - 20:01

Je hebt cos(b)+i.sin(b) en cos(b)-i.sin(b), eventueel met constanten ervoor. Tel ze bij elkaar op en je hebt cos(b) als oplossing (op een factor na). Vermenigvuldig met i en trek ze van elkaar af, en je hebt sin(b) als oplossing.

achja, ik snap het, enorm bedankt!

#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 september 2009 - 20:03

Graag gedaan!

Dit is trouwens een goede vraag; vaak wordt dit gewoon "gezegd", maar niet getoond waarom het mag/kan/werkt...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures