Springen naar inhoud

[wiskunde] vierkantswortel 3 is irrationaal


  • Log in om te kunnen reageren

#1

unknow010

    unknow010


  • 0 - 25 berichten
  • 4 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 02 oktober 2009 - 15:04

Ik probeer aan te tonen dat vierkants wortel 3 een irrationaal getal is (aan de hand van "bewijs uit het ongerijmde"), maar jammer genoeg kom ik er niet.

Weet iemand toevallig het bewijs hiervoor? :eusa_whistle:

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 oktober 2009 - 15:11

Ongerijmd: veronderstel dat sqrt(3) rationaal is, dan is het te schrijven als een breuk van natuurlijke getallen a/b. Bovendien kan je die breuk zo ver mogelijk vereenvoudigen, zodat ze geen gemeenschappelijke delers meer hebben. Er zou dan volgen: a = 3b, probeer van daar verder te gaan.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

unknow010

    unknow010


  • 0 - 25 berichten
  • 4 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 02 oktober 2009 - 16:17

Ongerijmd: veronderstel dat sqrt(3) rationaal is, dan is het te schrijven als een breuk van natuurlijke getallen a/b. Bovendien kan je die breuk zo ver mogelijk vereenvoudigen, zodat ze geen gemeenschappelijke delers meer hebben. Er zou dan volgen: a = 3b, probeer van daar verder te gaan.


a = 3b
a = 2b+b
2b=a-b
a-b is even

en hier loop ik vast. Ik ga er vanuit dat p en q even en oneven kunnen zijn, dus weet ik niet wat ik verder moet doen :eusa_whistle:

#4

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 oktober 2009 - 16:23

Waar komen p en q vandaan? Als a en b geen gemeenschappelijke delers hebben, dan zouden hun kwadraten allebei een even aantal priemfactoren moeten tellen. 3b2 heeft er echter n meer (dus een oneven aantal). Contradictie.

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#5

unknow010

    unknow010


  • 0 - 25 berichten
  • 4 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 02 oktober 2009 - 19:12

Waar komen p en q vandaan? Als a en b geen gemeenschappelijke delers hebben, dan zouden hun kwadraten allebei een even aantal priemfactoren moeten tellen. 3b2 heeft er echter n meer (dus een oneven aantal). Contradictie.


Sorry, maar ik begrijp je niet zo goed.

Ik veronderstel dat ik in het bewijs moet aantonen dat a en b beiden even zijn, zodat ze nog vereenvoudigbaar zijn, wat in contrast staat met de eerste stelling.(= de contradictie)

a en b hebben geen gemeenschappelijk delers, maar dan kan a of b nog altijd even zijn als de andere oneven is ? Dus als a even is, heeft het kwadraat geen priemfactoren?

Misschien kun je het iets wat meer uitleggen? :eusa_whistle:

Alvast bedankt

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 oktober 2009 - 20:46

Als je dat niet kan volgen, het kan ook anders.

Uit a = 3b volgt dat a een drievoud is, waardoor a ook een drievoud is. Schrijf a = 3k, dan:

(3k) = 3b, dus 9k = 3b, dus 3k = b

Dezelfde redenering geeft nu dat ook b een drievoud is, dus a en b zouden een gemeenschappelijke factor 3 hebben.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

unknow010

    unknow010


  • 0 - 25 berichten
  • 4 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 02 oktober 2009 - 20:55

Als je dat niet kan volgen, het kan ook anders.

Uit a = 3b volgt dat a een drievoud is, waardoor a ook een drievoud is. Schrijf a = 3k, dan:

(3k) = 3b, dus 9k = 3b, dus 3k = b

Dezelfde redenering geeft nu dat ook b een drievoud is, dus a en b zouden een gemeenschappelijke factor 3 hebben.


Nu snap ik het, dom dat ik er niet op kwam :eusa_whistle:

Beiden bedankt voor jullie hulp ](*,)

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 oktober 2009 - 20:59

Ok, graag gedaan!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

Exile

    Exile


  • 0 - 25 berichten
  • 20 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 16 december 2009 - 17:52

Ik heb een klein subvraagje:
Als je ditzelfde bewijs hanteert voor vierkantswortel 4 dan toon ik aan dat vierkantswortel 4 niet rationaal is, dit terwijl het wel zo is.
Waar ga ik fout in deze redenering?

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 december 2009 - 17:54

Schrijf je redenering eens uit.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

Exile

    Exile


  • 0 - 25 berichten
  • 20 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 16 december 2009 - 18:06

opnieuw een bewijs uit het ongerijmde. We gaan dus uit van de veronderstelling vierkantswortel 4 is element van de rationale getallen.
Dus we zouden vierkantswortel vier moeten kunnen schrijven als a/b met a element van Z en b element van N0

=>4=a2/b2
=>4b2=a2
=> a2 is een viervoud (wegens 4 maal een kwadraat blijft een viervoud met b element van N)
hieruit volgt a is een viervoud (wegens kwadraat van een viervoud blijft een viervoud)
we kunnen a dus schrijven als a=4c met c element van Z
=>a=4c
=>a2=16c2
=>4b2=16c2
=>b2=4c2
=> b2 is een viervoud (wegens zelfde redenering als bij a)
=> b is een viervoud

Er is dus aangetoond dat zowel a als b een viervoud zijn (gelijkaardig als in vierkantswortel 3), maar dit is strijdig met het gegeven dat ggd(a,b)=1 -> in ons geval is de ggd(a,b) verschillend van 1 wat een contradictie is. Dus vierkantswortel 4 is geen element van de rationale getallen.


Dit kom ik uit wanneer ik dezelfde logica toepas van vierkantswortel 3. Ik weet dat er een fout in zit, maar ik zie het niet.

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 december 2009 - 18:14

=> a2 is een viervoud (wegens 4 maal een kwadraat blijft een viervoud met b element van N)
hieruit volgt a is een viervoud (wegens kwadraat van een viervoud blijft een viervoud)
we kunnen a dus schrijven als a=4c met c element van Z

Het rode is fout, je verklaring daarvoor (oranje) klopt niet. Oranje zelf is wel juist ((4a) = 16a, dus ook een viervoud), maar is niet voldoende om rood te tonen. Immers: a met a = 2 is 4, een viervoud, maar a zelf is geen viervoud.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#13

Exile

    Exile


  • 0 - 25 berichten
  • 20 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 16 december 2009 - 18:27

Dus als ik het correct interpreteer:
vanwege het feit dat ik het rode niet uitsluitend kan aantonen en er een tegenvoorbeeld is mag ik niet verder gaan met het bewijs.

Zeer vriendelijk bedankt voor het vlugge antwoord.

#14

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 december 2009 - 18:29

Wel ja, het rode klopt niet dus je mag daar niet op steunen in je bewijs.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#15

Exile

    Exile


  • 0 - 25 berichten
  • 20 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 16 december 2009 - 18:48

nevermind - het antwoord reeds gevonden

Veranderd door Exile, 16 december 2009 - 18:58






0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures