[wiskunde/fysica] rotatie

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

[wiskunde/fysica] rotatie

Gegeven zij een vectorveld \( \vec{v} \).

De rotatie kan voorgesteld worden door volgende memotechnische voorstelling:

determinant van

een 3x3 matrix met

- op de eerste rij: de eenheidsvectoren

- op de tweede rij: de partiële afgeleide, respectievelijk naar x, y, z

- op de derde rij: de componenten van de vector v

Hoe bereken je nu concreet de rotatie van (x²y * u1 + 2xz * u2 + 2yz * u3) met u1, u2, u3 de eenheidsvectoren?

Bedankt!
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.

Berichten: 208

Re: [wiskunde/fysica] rotatie

Volgensmij:

bepalen van die determinant, dit is Rot ook wel Curl genoemd
\( \left( \begin{array}{c} \frac{\partial V_z}{\partial y}-\frac{\partial V_y}{\partial z} \\ \frac{\partial V_x}{\partial z}-\frac{\partial V_z}{\partial x} \\ \frac{\partial V_y}{\partial x}-\frac{\partial V_x}{\partial y} \end{array} \right) \)
En jou vector is
\( \left( \begin{array}{c} V_x \\ V_y \\ V_z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x^2y \\ 2xz \\ 2yz \end{array} \right)\)
inelkaar invullen en dat is dan je rotatie...

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: [wiskunde/fysica] rotatie

Bedankt!

Als v1, v2, v3 de coördinaten zijn van de vector \( \vec{v}\),

Waarom geldt de volgende uitspraak dan?

Px (Py(v3)-Pz(v2)) = \( \vec{0}\)

Px staat voor de partiële afgeleide naar x

Py(v3) staat voor de partiële afgeleide van v3 naar y

Nogmaals bedankt!
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde/fysica] rotatie

Als v1, v2, v3 de coördinaten zijn van de vector \( \vec{v}\)
Over welke vector gaat het nu...? Die uit je eerste bericht?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: [wiskunde/fysica] rotatie

We moeten bewijzen dat een gelijkheid gelijk is aan de nulvector.

Uiteindelijk bekom ik een term in de eenheidsvectoren u1,u2,u3. Aangezien het geheel gelijk moet zijn aan de nulvector, moet elke component gelijk zijn aan 0. Deze componenten zijn geschreven in functie van een willekeurige vector v.

Px (Py(v3)-Pz(v2)) is hierbij de component van u1, etc.
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde/fysica] rotatie

Het is nog altijd niet duidelijk, je omschrijving is ook verwarrend. Een "gelijkheid" kan niet gelijk zijn aan de nulvector, een vector kan gelijk zijn aan de nulvector... Uiteindelijk bekom je een "term"...?

Geef eens van in het begin de volledige opgave, maar dan duidelijk.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: [wiskunde/fysica] rotatie

Sorry voor de onduidelijkheid, hier volgt de opgave:

Bewijs dat de divergentie van de rotatie van de vector v, met v een willekeurige vector, gelijk is aan 0, bewijs vervolgens, door gebruik te maken van de nabla-operator, dat de rotatie van de gradiënt van een scalaire functie f, met f willekeurig, gelijk is aan de 0-vector. (Bewijs voor f een scalaire functie die R3

afbeeldt op R.
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde/fysica] rotatie

Dat is al duidelijker... Dan is het logisch dat je niet op 0 komt als je nog per component bent aan het kijken, de divergentie geeft immers een scalair terug! Je moet de partiële afgeleides optellen en die som moet 0 geven. De rotatie van het vectorveld is weer een vector, de divergentie daarvan is de som van de partiële afgeleides (eerste component naar de eerste veranderlijke, enzovoort).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 3.505

Re: [wiskunde/fysica] rotatie

Stel
\(rot\vec{v}=\vec{w}\)
, dan moet je dus aantonen dat
\(div\vec{w}=0\)
. Pas nu de definitie van div en rot toe om de juistheid van de stelling te bewijzen. Hint: ga na dat
\(\vec{w}\)
een uitwendig product van 2 vectoren voorstelt en dat
\(div\vec{w}\)
een inwendig product van 2 vectoren voorstelt, en ga na welk tripelproduct je dus moet toepassen om de juistheid van de stelling te bewijzen.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Reageer