Springen naar inhoud

[wiskunde] matrices


  • Log in om te kunnen reageren

#1

6wewia

    6wewia


  • >250 berichten
  • 288 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 oktober 2009 - 13:33

Hey, ik ben recent van richting veranderd en men gaf een herhalingsoefening van matrices waarin je eigenwaarden en eigenvectoren moet gebruiken. Ik heb echter nooit zoiets gezien en heb dus enorm veel problemen met deze toch wel vrij lange oefening. Daarom zou ik enige hulp op prijs stellen.

De matrices A en B zijn 3*3 matrices.
1. De actie van A is de loodrechte spiegeling tov het XZ-vlak. Bepaal A.
2. Toon aan dat A orthogonaal is, maar niet speciaal-orthogonaal.
3. De actie van B is de orthogonale spiegeling tov het vlak gaande door de Z-as en door de eerste bissectrice van het xy-vlak bepaal B.
4. Toon aan dat B orthogonaal is, maar niet speciaal orthogonaal.
5. Bereken M=AB en N=BA en stel vast dat M en N verschillend zijn en beide speciaal orthogonaal zijn.
6. De acties van M en N zijn dus rotaties. Bepaal voor elk de rotatie-assen en de rotatiehoeken.
7. Stel vast dat de rotatie-as de snijlijn is van de vlakken tov waarvan gespiegeld is en dat de rotatiehoek het dubbele is van de hoek tussen deze vlakken.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

6wewia

    6wewia


  • >250 berichten
  • 288 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 oktober 2009 - 13:43

Beginnend met de eerste vraag. X en y-coordinaat blijft dus hetzelfde en Y-coŲrdinaat verandert van teken.

dus het is een matrix die 1 1
1 afbeeldt op -1
1 1

1
1
1

wordt dus

1
-1
1

Dus A is van de vorm
1 0 0
0 -1 0
0 0 1

Klopt dit al?

#3

6wewia

    6wewia


  • >250 berichten
  • 288 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 oktober 2009 - 13:59

Indien ja, vraag 2 is gewoon een formuletje nagaan. Maar met vraag 3 zie ik niet direct in hoe B makkelijk te bepalen.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 oktober 2009 - 12:09

Dus A is van de vorm
1 0 0
0 -1 0
0 0 1

Klopt dit al?

Lijkt me juist.


Indien ja, vraag 2 is gewoon een formuletje nagaan. Maar met vraag 3 zie ik niet direct in hoe B makkelijk te bepalen.

Welke methode(s) heb je gezien om de matrix op te stellen van zo'n spiegeling?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

6wewia

    6wewia


  • >250 berichten
  • 288 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 oktober 2009 - 14:55

Gee eigenlijk, maar ik denk dat je hetvolgende kan doen.

neem punt (1,1,1) en als je dat spiegelt volgens dat vlak krijg je iets (?,?;?) maar die waarden zie ik niet direct in...

En dan deed ik gewoon een 3*3 matrix met onbekenden maal die kolomatric van het punt en dan moest je de gespiegelde waarden uitkomen...

Voor A ging dat nog, maar hiet is het al wat moeilijker.

Bestaat er een makkelijkere methode?

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 oktober 2009 - 15:26

In het algemeen is dat niet "zomaar" te zien, vandaar dat ik vroeg welke methode je gezien hebt.

Als je geen algemene manier gezien hebt, moet het misschien toch "intuÔtief", dat kan hier nog wel. Het spiegelvlak is evenwijdig met de z-as (bevat de z-as...), dus de z-coŲrdinaat blijft onveranderd. Spiegelen volgende de bissectrice in het xy-vlak, verwisselt de rollen van x en y.

De matrix moet dus de (oorspronkelijke) x-coŲrdinaat op de (nieuwe) y-coŲrdinaat sturen en omgekeerd, en z onveranderd laten.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

6wewia

    6wewia


  • >250 berichten
  • 288 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 oktober 2009 - 15:50

0 0 1
0 1 0
1 0 0

Ok, klopt dit?

Dan lukt 4 en 5 me zelf ook wel.
6 zie ik echter ook niet direct, is dat soms met de eigenwaarden?

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 oktober 2009 - 15:52

0 0 1
0 1 0
1 0 0

Ok, klopt dit?

Nee, hiermee laat je y onveranderd en verwissel je x en z; probeer maar eens op een vector (x,y,z).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

6wewia

    6wewia


  • >250 berichten
  • 288 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 oktober 2009 - 15:56

oh neen
foutje gemaakt
het is

0 1 0
1 0 0
0 0 1

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 oktober 2009 - 16:02

Klopt. Na het vermenigvuldigen krijg je matrices in de vorm van een rotatiematrix, ken je de standaardvorm daarvan?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

6wewia

    6wewia


  • >250 berichten
  • 288 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 oktober 2009 - 16:04

Matrix M:

0 1 0
-1 0 0
0 0 1


Matrix N:

0 -1 0
1 0 0
0 0 1

Veranderd door 6wewia, 04 oktober 2009 - 16:08


#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 oktober 2009 - 16:06

M zou hetzelfde zijn als B...? Dat lijkt me niet, volgens mij maak je ergens een tekenfout.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#13

6wewia

    6wewia


  • >250 berichten
  • 288 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 oktober 2009 - 16:09

Ik heb het juist aangepast

#14

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 oktober 2009 - 16:10

Na het vermenigvuldigen krijg je matrices in de vorm van een rotatiematrix, ken je de standaardvorm daarvan?

:eusa_whistle:
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#15

6wewia

    6wewia


  • >250 berichten
  • 288 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 oktober 2009 - 16:14

ja maar enkel voor een 2*2 matrix

daar is het

cos(t) -sin(t)
sin(t) cos(t)

Veranderd door 6wewia, 04 oktober 2009 - 16:15






0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures