Hallo,
Ik ben bezig met een opdracht voor mijn studie.
- Untitled.jpg (33.99 KiB) 177 keer bekeken
\(c^2 = a^2 + b^2 + 2ab cos(y)\)
Wanneer je de hoeken van de driehoeken die de steden vormen probeerd te bepalen met deze regel gaat er iets fout; Als je hoeken van de driehoek EHC (de letters staan voor de steden, van elke stad de eerste letter) bepaald, is de hoek die HC met HE maakt 101 graden. Maar wanneer je deze hoek op een andere manier berekend, namelijk door de cosinusregel op de andere driehoeken toe te passen, kom je op een hoek kleiner dan 100 graden uit. Dit komt omdat het oppervlak waarop de driehoeken staan, positief gekromd is. Dat was geen moelijke opdracht. Het lijkt mij echter interressant om te kijken of ik kan bepalen in welke mate Middle Earth gekromd is, om daaruit de straal van de 'bol' waarop het zich bevind afleiden.
De driehoeken die de steden vormen zijn eigenlijk Boldriehoeken, maw driehoeken op een bol.
De eerste cosinusregel uit de boldriehoeksmeting kan hiervoor gebruikt worden:
\(cos(a) = cos(b) \cdot cos( c) + sin(b) \cdot sin( c) \cdot sin(A) \rightarrow A = sin^{-1}(\frac{cos(a) - cos(b) \cdot cos( c)}{sin(b) \cdot sin( c)})\)
Dit is van toepassing op een driehoek op een bol. De driehoek heeft zijden a, b, en c, met overstaande hoeken A, B en C:- Neper__s_Circle.png (2.64 KiB) 156 keer bekeken
\(cos(a)\)
volgensmij niet de cosinus van de lengte van a bedoeld, maar die van de hoek die de twee punten die a verbind maken met het middelpunt van de bol. Ik zie namelijk op wikipedia staan dat de zijden bogen zijn. Dus ik neem aan dat ze met de sinus van een boog, de sinus van de middelpuntshoek bedoelen, zo worden bogen immers gedefinieerd. Daarnaast kan je ook geen sinus van een lengte nemen.De boog kan bepaald worden met de lengte van een zijde, en de straal van de bol waarop de driehoek zich bevindt:
\(\frac{l}{2\pi R}\cdot 2\pi = \frac{l}{R}\)
. Dit is dan de boog in radialen.Nu kan de eerste cosinusregel anders geschreven worden:
\(A = sin^{-1}(\frac{cos(\frac{a}{R}) - cos(\frac{b}{R}) \cdot cos(\frac{c}{R})}{sin(\frac{b}{R}) \cdot sin(\frac{c}{R})})\)
Dit keer staan a, b, en c voor de lengtes van de zijden, en niet de middelpuntshoeken.Hieronder een simpele weergave van Middle Earth:
- Untitleddf.jpg (7.4 KiB) 154 keer bekeken
\(sin^{-1}(\frac{cos(\frac{f}{R}) - cos(\frac{a}{R}) \cdot cos(\frac{d}{R})}{sin(\frac{a}{R}) \cdot sin(\frac{d}{R})}) = sin^{-1}(\frac{cos(\frac{b}{R}) - cos(\frac{a}{R}) \cdot cos(\frac{e}{R})}{sin(\frac{a}{R}) \cdot sin(\frac{e}{R})}) + sin^{-1}(\frac{cos(\frac{c}{R}) - cos(\frac{d}{R}) \cdot cos(\frac{e}{R})}{sin(\frac{d}{R}) \cdot sin(\frac{e}{R})})\)
Echt een beest van een vergelijking.De vraag:
Kan iemand mij helpen de R uit deze formule te isoleren, maw uit te drukken in de overige variabelen? Die zijn namelijk allemaal bekend.
En daarnaast: Zit ik wel op de goede weg?! Of is dit niet de goede/snelste methode om R te vinden?
Ik heb al een tijdje met deze formule gestoeid, maar dat nam enorm veel tijd in beslag, en ik ben er niet echt mee verder gekomen.
Ik hoop dat iemand met een wat groter wiskundig inzicht tips heeft om dit wat sneller te kunnen oplossen.
Alvast bedankt!
