[Wiskunde] Voortbrengers en basis (bewijs)

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 09-07-'05, 15:07

TomMe

Berichten: 71

[Wiskunde] Voortbrengers en basis (bewijs)

Graag had ik wat hulp gehad met volgend bewijs.

Als V een n-dimensionale vectorruimte is, en S = {v1, ..., vn} een voortbrengende verzameling van V is, dan is S een basis.

Ik dacht dit als volgt te doen:

Stel e1, ..., en is een basis van V. Nu wil ik telkens een ei uitwisselen tegen een vi.

=> v1 = a1e1 + ... + anen

Nu zou ik moeten kunnen aantonen dat v1 niet de nulvector is, maar hoe?

Of is er een betere manier?

Alvast bedankt.
Omhoog

Bericht 09-07-'05, 18:04

Rogier

Gebruikersavatar
Berichten: 5.679

Re: [Wiskunde] Voortbrengers en basis (bewijs)

Nu zou ik moeten kunnen aantonen dat v1 niet de nulvector is, maar hoe?
Als v1=0, dan is v1 ook voort te brengen uit v2 t/m vn dus kun je hem wel uit het stelsel weglaten. Maar in dat geval zou {v2,..,vn} een basis voor S zijn, en dat zijn n-1 elementen, wat in tegenspraak is met het gegeven dat S een n-dimensionale vectorruimte is.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
Omhoog

Bericht 09-07-'05, 18:51

TomMe

Berichten: 71

Re: [Wiskunde] Voortbrengers en basis (bewijs)

Dus het komt er dan op neer dat je moet inzien dat n vectoren een vectorruimte van maximaal dimensie n kunnen opspannen?

Gewoon even luidop denken.. n vectoren zijn ofwel linear afhankelijk ofwel linear onafhankelijk. In het eerste geval kan ik de verzameling vectoren reduceren tot een lin onafh stelsel van max n vectoren. In het tweede hebben we n vectoren. Dus de vectorruimte heeft maximaal dimensie n.

Sounds good, bedankt voor de hulp!!
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”