Springen naar inhoud

[Wiskunde] Voortbrengers en basis (bewijs)


  • Log in om te kunnen reageren

#1

TomMe

    TomMe


  • >25 berichten
  • 71 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 juli 2005 - 14:07

Graag had ik wat hulp gehad met volgend bewijs.

Als V een n-dimensionale vectorruimte is, en S = {v1, ..., vn} een voortbrengende verzameling van V is, dan is S een basis.

Ik dacht dit als volgt te doen:

Stel e1, ..., en is een basis van V. Nu wil ik telkens een ei uitwisselen tegen een vi.

=> v1 = a1e1 + ... + anen

Nu zou ik moeten kunnen aantonen dat v1 niet de nulvector is, maar hoe?
Of is er een betere manier?

Alvast bedankt.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 juli 2005 - 17:04

Nu zou ik moeten kunnen aantonen dat v1 niet de nulvector is, maar hoe?

Als v1=0, dan is v1 ook voort te brengen uit v2 t/m vn dus kun je hem wel uit het stelsel weglaten. Maar in dat geval zou {v2,..,vn} een basis voor S zijn, en dat zijn n-1 elementen, wat in tegenspraak is met het gegeven dat S een n-dimensionale vectorruimte is.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#3

TomMe

    TomMe


  • >25 berichten
  • 71 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 juli 2005 - 17:51

Dus het komt er dan op neer dat je moet inzien dat n vectoren een vectorruimte van maximaal dimensie n kunnen opspannen?

Gewoon even luidop denken.. n vectoren zijn ofwel linear afhankelijk ofwel linear onafhankelijk. In het eerste geval kan ik de verzameling vectoren reduceren tot een lin onafh stelsel van max n vectoren. In het tweede hebben we n vectoren. Dus de vectorruimte heeft maximaal dimensie n.

Sounds good, bedankt voor de hulp!!





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures