Springen naar inhoud

[wiskunde] dimensies


  • Log in om te kunnen reageren

#1

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 07 oktober 2009 - 18:59

De dimensie van Rn over R is n, omdat een basis voor Rn uit n elementen bestaat.
Analoog is de dimensie van C over R gelijk aan 2, omdat de basis uit twee basiseenheden bestaat.
Maar hoe toen je aan dat voor de verzameling K geldt: de dimensie van K over K is 1, als K hierbij staat voor de verzameling R of de verzameling C?

R,C, K moeten beschouwd worden als de verzamelingenR, C, K




Alvast bedankt!
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 oktober 2009 - 19:13

Toon dat het volstaat in zo'n geval 1 vector te hebben om heel de ruimte op te spannen; of dat twee vectoren sowieso lineair afhankelijk zijn.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 07 oktober 2009 - 19:40

Dit lukt me voor R: als we de getallenas beschouwen, is het duidelijk dat je een ijk kan kiezen en vervolgens een scalair zodat de scalaire vermenigvuldiging elk punt van de as kan bereiken.

In C lukt me dat niet, aangezien ik me C voorstel als een vlak en naar analogie met R dacht aan 2 basisvectoren en bijgevolg aan dimensie 2.
de dimensie van C over C is 1 lukt me dus niet...

Hebt u nog een tip?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 oktober 2009 - 19:42

Denk eraan dat je "scalairen" nu ook in C zitten! Neem dus als basisvector bijvoorbeeld het eenheidselement, dan kan je elke vector x in (de vectorruimte) C, maken door als scalair x in (het veld/lichaam) C te nemen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 07 oktober 2009 - 20:39

Dus, als ik het goed begrijp:

dimensie van

R over R
Kies eenheidselement als basis, nl. 1
Om de verzameling R te doorlopen, kiezen we een willekeurige scalair uit R. M.a.w. naargelang de waarde op de rele as die we willen bekomen, kunnen we deze scalair laten variren.

C over C
Kies eenheidselement als basis, nl. 1
Om de verzameling C te doorlopen, kiezen we een willekeurig complex getal uit C. Ma.w. naargelang het complex getal dat we willen bekomen, kiezen we een complex getal en vermenigvuldigen dit met 1.


In de notatie de dimensie van A over K mogen we een willekeurig element nemen uit de verzameling A, dat als 'scalair' optreedt bij het vermenigvuldigen met het basiselement, teneinde zo de hele verzameling K voort te brengen?

Nogmaals bedankt!
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 oktober 2009 - 20:42

In de notatie de dimensie van A over K mogen we een willekeurig element nemen uit de verzameling A, dat als 'scalair' optreedt bij het vermenigvuldigen met het basiselement, teneinde zo de hele verzameling K voort te brengen?

Hier verwissel je A en K. In de vorm "A over K" is het de vectorruimte A over een veld/lichaam (van scalairen) K.

In het specifieke geval van K over K, kan je als basisvector het eenheidselement nemen en als scalair steeds het overeenstemmend element om eender welke vector x uit K te maken.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 07 oktober 2009 - 20:48

Dus ik wil bv. 3+4i bekomen.

In C over C neem ik het eenheidselement 1 als basis en neem ik 3+4i uit de verzameling K om zo 3+4i te bekomen.
Klopt dit?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 oktober 2009 - 20:52

Dus ik wil bv. 3+4i bekomen.

In C over C neem ik het eenheidselement 1 als basisvector en neem ik 3+4i uit de verzameling K om zo 3+4i te bekomen.
Klopt dit?

Ja, zie kleine toevoeging in de quote.

Let wel: dit is niet de enige mogelijkheid! Maar het is met deze keuze wel eenvoudig te zien dat je maar n element in je basis hebt.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 07 oktober 2009 - 20:54

Bedankt, ik begrijp het!
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 oktober 2009 - 21:04

Ok, graag gedaan!

Er is immers de handige stelling dat het aantal basisvectoren (en dus de dimensie), onafhankelijk is van de keuze van die basisvectoren. Dus met deze "handige keuze", weet je dat in het geval K over K, de dimensie 1 is.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures