Springen naar inhoud

Wachttijd paradox


  • Log in om te kunnen reageren

#1


  • Gast

Geplaatst op 06 mei 2003 - 20:42

Ik breek mijn hoofd over het volgende:

Een bus komt iedere tien minuten bij een bushalte. Onbekend is echter wanneer de volgende bus komt.
Wat is de gemiddelde wachttijd?


Pas op: het antwoord is dus niet 5, maar ligt tegen de 7 aan. Ik krijg het echter niet rationeel uitgelegd. Kan iemand me helpen?

Groeten,

Sander

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2


  • Gast

Geplaatst op 06 mei 2003 - 21:08

Heb het antwoord al gevonden:

http://groups.google...outh.edu&rnum=2

#3

Bro

    Bro


  • >1k berichten
  • 1072 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 mei 2003 - 22:56

Das een goeie. Ik dacht eerst ook dat het 5 minuten was. Maar na enig nadenkwerk en een grafiekje kwam ik er inderdaad achter dat het veel meer is dan 5 minuten.

Kan iemand dit simuleren met de computer? Dan weten we een benadering.

#4

Bro

    Bro


  • >1k berichten
  • 1072 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 mei 2003 - 00:54

Kom na een kleine simulatie toch echt op 5 minuten uit (als de bussen precies 10 minuten van elkaar vertrekken).

Als b.v. de bussen om de 1000 seconden van elkaar vertrekken. Nu kan ik met mijn casio ran# gebruiken om de tijd die ik moet wachten te kiezen.
0.256 is 256 seconden voor de volgede bus komt
0.098 is 98 seconden enz.

De kans dat ik op 0.256 of de kans dat ik op 0.098 aankom is precies gelijk. Zo ook alle andere gegenereerde getallen met ran#.

Als ik nu 100 keer een ran# getal bij elkaar optel, dit zijn dus de wachttijden en deel door 100 (ben 100 keer naar de bushalte gelopen) dan kom ik op 500 seconden uit.

Wat doe ik nou verkeerd?

#5


  • Gast

Geplaatst op 05 juni 2003 - 13:29

Hoe onwaarschijnlijk het mij op het eerste gezicht ook lijkt, en ik ben er nog niet helemaal uit, je kunt volgens mij wel inzien dat je altijd langer wacht:

De kans is het grootst dat je aankomt in een interval waarbij de laatst vertrokken bus iets te vroeg was, en de volgende iets te laat. De kans dat je in een interval aankomt waarbij de laatste bus te laat was, en de volgende te vroeg komt, is kleiner.
Dit laatste interval is gewoon korter, en je mag aannemen dat er evenveel korte als lange intervallen zijn.

Jelle

#6


  • Gast

Geplaatst op 19 augustus 2003 - 13:34

Jelle, je uitspraken en kansen met betrekking tot intervallen klinken voor mij onbegrijpelijk. Jullie hebben mij nog steeds niet overtuigd, wachttijd is volgens mij gewoon 5 minuten (zeker geen 7 minuten). Als elke minuut 1 iemand bij de bushalte komt staan dan kom je toch nooit uit op een gemiddelde wachttijd van 7 minuten wanneer elke 10 minuten een bus komt. Trouwens bij een gemiddelde wachttijd van 7 minuten zou gemiddeld de bus 3 minuten daarvoor vertrokken zijn, hoezo dat dan??

#7

DVR

    DVR


  • >250 berichten
  • 581 berichten
  • VIP

Geplaatst op 19 augustus 2003 - 14:05

De kans is het grootst dat je aankomt in een interval waarbij de laatst vertrokken bus iets te vroeg was, en de volgende iets te laat. De kans dat je in een interval aankomt waarbij de laatste bus te laat was, en de volgende te vroeg komt, is kleiner.
Dit laatste interval is gewoon korter, en je mag aannemen dat er evenveel korte als lange intervallen zijn.

Jelle


Volgens mij klopt dit wel enigszins.. Klinkt logisch (en toch ook weer zo onlogisch :shock:)
De kortste weg tussen twee punten is nooit een rechte lijn...

#8

Elmo

    Elmo


  • >1k berichten
  • 3437 berichten
  • VIP

Geplaatst op 27 oktober 2003 - 15:02

Ik breek mijn hoofd over het volgende:

Een bus komt iedere tien minuten bij een bushalte. Onbekend is echter wanneer de volgende bus komt.
Wat is de gemiddelde wachttijd?


Pas op: het antwoord is dus niet 5, maar ligt tegen de 7 aan. Ik krijg het echter niet rationeel uitgelegd. Kan iemand me helpen?

Groeten,

Sander


Als je dit 'experiment' heel vaak doet, dan zou de volgende redenering moeten gelden: je komt aan op een willekeurig tijdstip t op het open interval (0, 10). We nemen aan dat de bussen exact elke 10 minuten komen en altijd perfect op tijd zijn etc. Dan is de kans dus 0.5 dat je aankomt op het interval A=(0,5) en 0.5 dat je aankomt op het interval B=(5,10). Iedereen die in A aankomt, wacht dus meer dan 5 minuten en iedereen die in B aankomt, wacht minder dan 5 minuten. Aangezien de intervallen A en B even groot zijn, zal dus het aantal mensen in beide intervallen gelijk zijn. Dit betekend dat de gemiddelde wachttijd precies tussen de twee intervallen in ligt: 5 minuten dus.

Andere redenering: de wachttijd, t1, voor de volgende bus is exact 10 minuten min de tijd, t2, nadat de vorige bus vertrokken is: t1 = 10 - t2 Aangezien het probleem symmetrisch is (je weet niet wanneer de volgende bus vertrekt, noch wanneer de vorige vertrokken is, aangezien je op een willekeurig tijdstip aankomt) moeten de twee tijden t1 en t2 aan elkaar gelijk zijn. Uit t1=10-t2 volgt dan t1=t2=5 minuten.

-Freek.

#9

Elmo

    Elmo


  • >1k berichten
  • 3437 berichten
  • VIP

Geplaatst op 27 oktober 2003 - 15:24

Formele redenering:

Totale tijdsinterval: [0,10].
In het interval [t, t+dt] komen er dan (gemiddeld) dt/10 mensen, welke een tijd t moeten wachten.
Sommeer over alle mensen om de gemiddelde wachttijd T te vinden: som -> integraal...
T = integraal van 0 tot 10 (t * dt/10)
= 1/20 * t^2 voor t=[0,10]
= 1/20 * 100 - 1/20 * 0
= 1/20 * 100
= 5

Klaar.

-Freek.

#10


  • Gast

Geplaatst op 01 december 2003 - 09:46

Kom na een kleine simulatie toch echt op 5 minuten uit (als de bussen precies 10 minuten van elkaar vertrekken).

Als ik nu 100 keer een ran# getal bij elkaar optel, dit zijn dus de wachttijden en deel door 100 (ben 100 keer naar de bushalte gelopen) dan kom ik op 500 seconden uit.

Wat doe ik nou verkeerd?


500 seconden zijn nog altijd geen 5 minuten :wink:

#11

DePurpereWolf

    DePurpereWolf


  • >5k berichten
  • 9240 berichten
  • VIP

Geplaatst op 01 december 2003 - 10:42

Ik ben het niet eens met de 5 minuten, maar ook niet met de 7. Ik denk dat het rond de 2.5 minuten moet zijn. Aannemende dat er een constante stroom is van mensen die met de bus mee willen.
Bedenk een grafiekje waarin de populatie aan de bushalte lineair toeneemt. p(t) = 5(t) (bij t is in minuten heb je dus na 10 minuten 50 man, en dat past er wel in.

De kans dat ze op worden gepikt wordt dus verschoven naar 2.5 minuten, omdat er dan meer mensen zijn.

Nou hebben we het wel om een man, maar die kan dus op verschillende tijdstippen in de rij aansluiten, waardoor mijn hypothesis wel gerechtvaardigd is.

#12

Elmo

    Elmo


  • >1k berichten
  • 3437 berichten
  • VIP

Geplaatst op 01 december 2003 - 10:56

Aannemende dat er een constante stroom is van mensen die met de bus mee willen.

Dat is precies de aanname die ik in mijn formele redenering gebruikt heb:

In het interval [t, t+dt] komen er dan (gemiddeld) dt/10 mensen, welke een tijd t moeten wachten.

Daar volgt echt gewoon 5 minuten uit hoor, zie bovenstaande integraal.


Jou redenering begrijp ik verder niet: Je hebt namelijk in je 10 minuten periode 50 man die op de bus wachten. Aangezien de populatie-toename lineair is, heb je dus evenveel mensen die x minuten moeten wachten als mensen die 10-x minuten moeten wachten. Gemiddelde wachttijd is dan dus 10/2=5 minuten. Ik snap niet hoe jij aan 2.5 minuten komt...





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures