Springen naar inhoud

[natuurkunde] Oneindig repeterende integraal


  • Log in om te kunnen reageren

#1

MacHans

    MacHans


  • >250 berichten
  • 500 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 oktober 2009 - 09:54

Hallo,

Ik ben bezig met een opdracht over een getijdencetrale. De centrale wekt stroom op door water door waterturbines een reservoir in te laten stromen. Het hoogteverschil tussen eb en vloed buiten het reservoir is 4,5 meter. De hoogte van het water is bij benadering een cosinusfunctie:

LaTeX

De wet van Torricelli zegt dat de snelheid van een vloeistof dat onderuit een reservoir stroom gelijk is aan:

LaTeX

Waarin LaTeX het hoogteverschil tussen het vloeistofoppervlak en de opening is.

Als het reservoir leeg is (waardoor de hoogte van het water buiten het reservoir, het hoogteverschil is), geldt dus:

LaTeX

Als de opening oppervlak LaTeX heeft, is het volume dat per tijdseenheid door de opening stroom gelijk aan:

LaTeX

Als deze Q constant zou zijn, zou de hoogte LaTeX binnen het reservoir toenemen met:

LaTeX

Waarin LaTeX het oppervlak van het grondvlak van het reservoir is.

Nu ontstaat er een ingewikkelde vergelijking; De hoogte buiten het reservoir is niet constant, maar wel is bekend hoe deze veranderd in de tijd.

De hoogte van het water in het reservoir zal toenemen als het waterniveau buiten het reservoir hoger is dan erbinnen.

Volgens de wet van Torricelli is de hoeveelheid vloeistof die per seconde het reservoir binnenstroomt enkel afhankelijk van LaTeX . Ook is bekend dat LaTeX gelijk is aan:

LaTeX

Voor de duidelijkheid:

LaTeX

En LaTeX moet gelijk zijn aan het totale volume water dat na tijd t naar binnen is gestroomt, gedeeld door het grondoppervlak van het reservoir:

LaTeX

Als we LaTeX nu invullen in de wet van Torricelli krijgen we:

LaTeX [1]

Hier komt het probleem:

LaTeX
LaTeX
LaTeX

Daardoor zijn er oneindig veel integralen nodig om [1] uit te schrijven:

wtf2.jpg

Steeds komt in de integraal een nieuwe integraal voor :eusa_whistle:

Weet iemand hoe dit kan worden opgelost? Is er een manier om deze vergelijking te schrijven zonder deze reeks integralen?


*** Ik zie net dat ik geen [natuurkunde] voor de titel heb geplaats, maar dat kan ik nu niet meer corrigeren, sorry daarvoor.

Veranderd door MacHans, 15 oktober 2009 - 09:57


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

yoralin

    yoralin


  • >100 berichten
  • 194 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 oktober 2009 - 18:43

Is er een manier om deze vergelijking te schrijven zonder deze reeks integralen?

Op eventuele rekenfouten na : kwadrateer jouw vgl. [1] en leid af, dan ben je de integraal kwijt :

2.v(t).v'(t) = - (3 pi / 4) * sin(pi t / 6) - (2g A0/Ar) v(t).

M.a.w. : v(t) is een opl. van een diff.vgl. van de vorm 2.v(t).v'(t) + A.v(t) = B.sin(C.t),
maar dan geraak ik ook niet verder...

Veranderd door yoralin, 15 oktober 2009 - 18:44


#3

thermo1945

    thermo1945


  • >1k berichten
  • 3112 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 15 oktober 2009 - 23:00

Kun je hier iets mee?
√(12+√(12+√(12+√(12+...)))) = x = √(12+x).
Dan is x = 4.
(x = -3 voldoet niet, onder andere, omdat x > √12.)

Veranderd door thermo1945, 15 oktober 2009 - 23:05






0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures