Springen naar inhoud

Epsilon delta definitie limiet


  • Log in om te kunnen reageren

#1

steven01

    steven01


  • >25 berichten
  • 46 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 16 oktober 2009 - 18:19

De epsilon delta definitie voor limiet luidt:
____________________________________
Stel is een reŽle functie gedefinieerd op D. We zeggen dat f in het punt p de limiet A heeft en schrijven:
LaTeX
als bij elk (willekeurig klein) getal ε > 0 een getal δ > 0 gevonden kan worden, zodat voor alle punten die minder dan δ van p af liggen, dus met
LaTeX
geldt dat de functiewaarden f(x) minder dan ε van het getal A verwijderd zijn, dus:
LaTeX
____________________________________

Stel ik neem nu een mooie continue functie, bv. f(x)=x^2.

epsilon.jpg

Stel, ik probeer nu te bewijzen met deze definitie dat de LaTeX .
Ik weet dat dit niet klopt, maar ik zie niet waarom dat dit niet met de epsilon delta definitie zou kunnen.
Als je nu een willekeurige ε kiest hoe klein ook, kan ik toch een functiewaarde kiezen, zie groene streep, door een bepaalde δ te kiezen (zie grafiek), om dan een x te kiezen waarvoor LaTeX en LaTeX ?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 16 oktober 2009 - 19:12

Maar een omgeving van x=1 (δ) kan nooit een omgeving van f bij 3 (ε) opleveren.

#3

steven01

    steven01


  • >25 berichten
  • 46 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 16 oktober 2009 - 19:37

In de epsilon-delta definitie wordt er toch niet gesproken over omgevingen?

#4

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 oktober 2009 - 20:29

Dat is toch juist het hele epsilon-deltaconcept.

Misschien een ietwat irrelevant voorbeeld, maar zo bestaat LaTeX ook niet, omdat de functie niet bestaat in een omgeving van 2.

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#5

steven01

    steven01


  • >25 berichten
  • 46 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 16 oktober 2009 - 20:39

Ik weet dat er ook een definitie met omgevingen bestaat voor limiet.
Maar in de epsilon-delta definitie, wordt er nergens gesproken over een omgeving, of staat er nergens een symbolische notatie voor omgeving.

Veranderd door steven01, 16 oktober 2009 - 20:40


#6

mathfreak

    mathfreak


  • >1k berichten
  • 2460 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 oktober 2009 - 21:08

Hoewel het begrip omgeving niet expliciet vermeld wordt zit het wel in de epsilon-deltadefinitie opgesloten. Er geldt namelijk: als LaTeX voor alle ε>0, dan is er een δ>0 waarvoor LaTeX . We noemen LaTeX in dat geval een ε-omgeving van L en LaTeX een gereduceerde δ-omgeving van p.

Veranderd door mathreak, 16 oktober 2009 - 21:09

"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

#7

steven01

    steven01


  • >25 berichten
  • 46 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 17 oktober 2009 - 08:27

Wat bedoel je met "gereduceerde" δ-omgeving van p? Bedoel je hiermee dat de δ-omgeving kleiner is dan de ε-omgeving? Zo zou de definitie natuurlijk wel kloppen.

#8

317070

    317070


  • >5k berichten
  • 5567 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 17 oktober 2009 - 10:35

De epsilon delta definitie voor limiet luidt:
____________________________________
Stel is een reŽle functie gedefinieerd op D. We zeggen dat f in het punt p de limiet A heeft en schrijven:
LaTeX


als bij elk (willekeurig klein) getal ε > 0 een getal δ > 0 gevonden kan worden, zodat voor alle punten die minder dan δ van p af liggen, dus met
LaTeX
geldt dat de functiewaarden f(x) minder dan ε van het getal A verwijderd zijn, dus:
LaTeX

LaTeX is ongeveer hetzelfde als LaTeX
En dan kun je al eenvoudiger zien waar je verkeerd gaat.
Jouw LaTeX wordt niet willekeurig klein, want f(x) is NIET gelijk aan 3, maar aan 1, dus zal je :eusa_whistle: minstens gelijk moeten zijn aan 2 of hoger, en dus is je ](*,) niet willekeurig klein, in tegenspraak met je definitie.

Veranderd door 317070, 17 oktober 2009 - 10:39

What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet
And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign
-Alanis Morisette-

#9

steven01

    steven01


  • >25 berichten
  • 46 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 17 oktober 2009 - 11:05

LaTeX

is ongeveer hetzelfde als LaTeX

Epsilon-delta definitie:

...als bij elk (willekeurig klein) getal ε > 0 een getal δ > 0 gevonden kan worden, ...

De δ mag ik dus willekeurig kiezen. Als ik die δ groot genoeg kies, is f(x) wel ongeveer gelijk aan 3.
Volgens mij is die definitie slecht geformuleerd, en moet erbij dat δ klein moet zijn.

Veranderd door steven01, 17 oktober 2009 - 11:05


#10

317070

    317070


  • >5k berichten
  • 5567 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 17 oktober 2009 - 11:19

De δ mag ik dus willekeurig kiezen. Als ik die δ groot genoeg kies, is f(x) wel ongeveer gelijk aan 3.
Volgens mij is die definitie slecht geformuleerd, en moet erbij dat δ klein moet zijn.

Toch niet: er staat:

zodat voor alle punten die minder dan δ van p af liggen,


Bij jou zijn er heel wat getallen tussen 1 en ](*,) waarvoor f(x) helemaal niet rond de 3 zit, in ieder geval niet binnen je :eusa_whistle:-omgeving.

Veranderd door 317070, 17 oktober 2009 - 11:20

What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet
And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign
-Alanis Morisette-

#11

steven01

    steven01


  • >25 berichten
  • 46 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 17 oktober 2009 - 11:22

Je hebt gelijk. Daar had ik niet aan gedacht. Ik zat altijd in mijn hoofd dat je de x kies mocht kiezen in dat interval, maar het moet dus gelden voor alle x in dat interval.

Veranderd door steven01, 17 oktober 2009 - 11:23


#12

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 17 oktober 2009 - 11:33

@steven01
Wat is de definitie van omgeving die jij bent tegengekomen?

#13

steven01

    steven01


  • >25 berichten
  • 46 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 17 oktober 2009 - 11:43

De ε-omgeving van a is de verzameling LaTeX .
De R staat dus voor de verzameling van de reŽele getallen, ik wist niet hoe ik het juiste symbool moest typen in latex.
Maar ik heb nog nooit over een gereduceerde omgeving gehoord.

#14

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 oktober 2009 - 12:21

Maar ik heb nog nooit over een gereduceerde omgeving gehoord.

Dat is een omgeving waar een punt (i.h.b. het "centrale punt") wordt uitgehaald; alle punten in de buurt van x, zonder x zelf.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures