\( \lim_{ n \rightarrow \infty} a_n = L \)
bewijs dat:\(\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} = L\)
Hoe moet ik dit aanpakken?Laatste berichten
-
09:34
Herleiden afmetingen vanaf een foto
-
07:53
Rotatie van het heelal 25
-
00:49
Ervaringen met "herontdekkingen" 11
-
21:28
hall effect in vloeistof gebruiken als stromingssensor 6
-
17:59
Gezocht: de/een naam voor een getallenrij met een cauchyrij als partieelsommenrij
-
17:28
Casus uit de praktijk: positief test THC 18
-
17 apr
speciale rel. theorie 4
-
17 apr
Vreemde stank in huis 11
-
17 apr
3 vragen over mijn rooskleurige r.berekening H2netGekoppeldeHBrflowbatterij.
-
17 apr
Interpretatie reactie-energie 3
-
17 apr
Logistic equation (Pierre Verhulst,Belgian Mathematician) 5
-
16 apr
vB 9
-
15 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 1
-
15 apr
Python: sockets sluiten 4
-
14 apr
Een eenvoudige logische redenering waarom tijd niet kan bestaan 'daarbuiten' 6
-
14 apr
Hoe kun je op quantumwijze getallen vinden in een rij die kleiner zijn dan getal k 3
-
13 apr
Documentenverdwijnen uit onedrive 1
-
12 apr
Behoud van impulsmoment en energie 5
-
12 apr
INLOG STORING / TIPS 4
-
09 apr
[natuurkunde] systeemgrafen 1
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Limiet bewijs
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
-
- Pluimdrager
- Berichten: 3.505
Re: Limiet bewijs
\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=L\)
betekent: bij een gegeven ε>0 is er een natuurlijk getal N met de eigenschap dat voor alle n>N geldt dat |an-L|<ε. Kijk eens of je aan de hand daarvan het bewijs kunt leveren."Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel
-
- Berichten: 4.246
Re: Limiet bewijs
Voor een zeker grote n:
\(| \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} - \frac{nL}{n} | \leq \frac{1}{n} \left( |a_1-L|+...+ |a_{N-1}+|a_N-L|+...|a_n-L| \right) \)
\(= \frac{1}{n} \left( |a_1-L|+...+|a_{N-1}-L|+\epsilon+ ...+ \epsilon \right) \)
Maar wat moet ik met de linkersom voor alle n<N?Quitters never win and winners never quit.
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Limiet bewijs
Maar als n groot genoeg is, is |a1-L|/n toch ook kleiner dan een zekere ε1?
-
- Berichten: 4.246
Re: Limiet bewijs
Goed punt.Maar als n groot genoeg is, is |a1-L|/n toch ook kleiner dan een zekere ε1?
De laatste regel moet dus worden:
\(= \frac{1}{n} \left( |a_1-L|+...+|a_{N-1}-L|+\epsilon+ ...+ \epsilon \right) \leq \frac{1}{n}(n \epsilon_1) = \epsilon_1 \leq \epsilon \)
als \( n \rightarrow \infty\)
Klopt het zo?Quitters never win and winners never quit.
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Limiet bewijs
Ik denk niet dat dat lukt.
Neem eens:
Neem eens:
\(a_n=L-t_n\)
dan is, met het gegeven:\(\lim_{n\to\infty}a_n=L =>\lim_{n\to\infty}t_n=0\)
-
- Berichten: 4.246
Re: Limiet bewijs
Ik zie niet waarom dit nuttig is. Je trekt simpelweg L af van elke term, maar het gaat om de som van de termen.
Quitters never win and winners never quit.
-
- Berichten: 4.246
Re: Limiet bewijs
Definieer
\( a_n =L-t_n \)
dan geldt er:\( \frac{1}{n}|a_1+...+a_n -nL| \leq \frac{1}{n} \left( |t_1| +...+|t_n| \right) \leq\frac{1}{n}( n \epsilon) =\epsilon\)
voor \( n \rightarrow \infty \)
Klopt dit?Quitters never win and winners never quit.
-
- Berichten: 4.246
Re: Limiet bewijs
Ja. Maar waarom klopt het?
\( \frac{t_i}{n}\)
zal voor toenemende n willekeurig klein worden.Quitters never win and winners never quit.
Re: Limiet bewijs
Laat
Kies
Kies vervolgens een
Dan is
C'est tout.
\(\epsilon>0\)
zijn.Kies
\(N>0\)
zó dat \(|a_n-L| < \frac{\epsilon}{2}\)
voor \(n > N\)
.Kies vervolgens een
\(M>N\)
zó dat \(|\frac{a_1+a_2+\cdots + a_N-NL}{n}|<\frac{\epsilon}{2}\)
voor \(n>M\)
.Dan is
\(|\frac{a_1+a_2+\cdots + a_n}{n} - L| \le |\frac{a_1+a_2+\cdots + a_N-NL}{n}| + |\frac{(a_{N+1}-L)+(a_{N+2}-L)+\cdots + (a_n-L)}{n}| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{n-N}{n}\frac{\epsilon}{2} < \epsilon\)
voor \(n>M\)
.C'est tout.
-
- Berichten: 4.246
Re: Limiet bewijs
Waarom is het mogelijk een M te kiezen zodanig dat dit geldt? Ga je bij deze aanname er al niet vanuit dat de limiet voor de som (a_1+..+a_n)/n bestaat?PeterPan schreef:.
Kies vervolgens een\(M>N\)zó dat\(|\frac{a_1+a_2+\cdots + a_N-NL}{n}|<\frac{\epsilon}{2}\)voor\(n>M\).
Quitters never win and winners never quit.
Re: Limiet bewijs
\(N\)
is een gekozen getal, dus de teller is een (vaste) constante. De noemer is variabel en kan zo groot gekozen worden als je zelf wilt.