Springen naar inhoud

Diagonale dichtheidsmatrix?


  • Log in om te kunnen reageren

#1

M.B.

    M.B.


  • >100 berichten
  • 165 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 oktober 2009 - 09:33

Hoi,

in de kwantummechanica worden kansverdelingen mbv dichtheidsmatrices opgeschreven.
Stel dat ik twee subsystemen heb waarop ik statistiek kan doen (bv de kans om het systeem met een bepaalde energie te vinden)
Ik kan de dichtheidsmatrix van elk subsysteem diagonaliseren, zodat op de diagonaal de eigenwaarden komen, die in dit geval de kans geven om het systeem met zo'n energie te vinden.

Stel nu het eerste subsysteem, met een diagonale dichtheidsmatrix LaTeX met als basis LaTeX (is een N-deeltjesgolffunctie als het subsysteem N deeltjes bevat)
Stel nu analoog voor het tweede subsysteem een diagonale dichtheidsmatrix LaTeX met als basis LaTeX

Nu kan er formeel een basis geconstrueerd worden voor het ganse systeem, bestaande uit de twee subsystemen.
Die basis is: LaTeX

Mijn vraag: is de dichtheidsmatrix van het ganse systeem diagonaal in deze basis?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

physicalattraction

    physicalattraction


  • >1k berichten
  • 3104 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 19 oktober 2009 - 08:36

Dit is alleen het geval wanneer er geen overlap is tussen beide ruimtes. Als er een vector is in ruimte N die geschreven kan worden met de basisvectoren van ruimte M, dan heb je dus een of meerdere niet-diagonaal elementen in de dichtheidsmatrix en is de dimensie van je totale systeem kleiner dan dim(M)+dim(N).

#3

M.B.

    M.B.


  • >100 berichten
  • 165 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 oktober 2009 - 14:42

Met 'geen overlap tussen beide ruimten' bedoel je dat ze onafhankelijk zijn, of anders gezegd niet interageren?
De dimensie van het totale systeem is toch NxM en niet N+M. Je neem het tensorproduct en niet de directe som. Het feit of er al dan niet off-diagonaalelementen zijn heef toch geen invloed op de verkleining van de dimensies van de matrix?

#4

physicalattraction

    physicalattraction


  • >1k berichten
  • 3104 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 19 oktober 2009 - 16:02

Met geen overlap bedoel ik inderdaad onafhankelijk, oftewel geen interactie. Ik zie niet in waarom je het tensorproduct wil nemen en niet de directe som, maar misschien dat ik je oorspronkelijke vraag al niet snap, dus ik probeer hem te herformuleren.

In systeem 1 zitten LaTeX deeltjes. Voor deze LaTeX deeltjes kunnen we één golffunctie opschrijven, die we LaTeX noemen. Deze functie is te schrijven als een lineaire combinatie van orthonormale functies, die we LaTeX noemen. Stel dat deze samen een basis vormen, en dat er maar een eindig aantal zijn, namelijk LaTeX . Nu geldt dus:

LaTeX

Merk op dat we een andere basis nodig hebben indien er LaTeX deeltjes in het systeem zouden zitten. Voor systeem 2 geldt iets analoogs:

LaTeX

Wanneer we nu beide systemen beschouwen, dan is de LaTeX -deeltjes golffunctie te schrijven als:

LaTeX

Hieruit valt in te zien dat de dimensie van de gecombineerde ruimte hooguit LaTeX bedraagt. De uiteindelijke dimensie kan lager uitvallen wanneer de twee systemen niet onafhankelijk zijn.

Wanneer je echter wel het tensorproduct neemt, dan is je oorspronkelijke vraag trouwens nog eenvoudiger: het tensorproduct van twee diagonaalmatrices is zelf ook weer een diagonaalmatrix, direct in te zien vanuit de definitie.

#5

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 november 2009 - 23:28

Ik zie niet in waarom je het tensorproduct wil nemen en niet de directe som

Dat kun je ook niet inzien. Of je het tensorproduct of de directe som van je twee Hilbertruimten neemt, hangt af van de fysische context. Aangezien TS zegt het tensorproduct te nemen, is het antwoord inderdaad 'ja', direct vanuit de definitie.

Een bekende constructie is het tensorproduct van de baanruimte en de spinruimte van een deeltje.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures