Diagonale dichtheidsmatrix?

M.B.

Hoi,

in de kwantummechanica worden kansverdelingen mbv dichtheidsmatrices opgeschreven.

Stel dat ik twee subsystemen heb waarop ik statistiek kan doen (bv de kans om het systeem met een bepaalde energie te vinden)

Ik kan de dichtheidsmatrix van elk subsysteem diagonaliseren, zodat op de diagonaal de eigenwaarden komen, die in dit geval de kans geven om het systeem met zo'n energie te vinden.

Stel nu het eerste subsysteem, met een diagonale dichtheidsmatrix \(\rho_1\) met als basis \(\left{|\psi_n \rangle\right}\) (is een N-deeltjesgolffunctie als het subsysteem N deeltjes bevat)

Stel nu analoog voor het tweede subsysteem een diagonale dichtheidsmatrix \(\rho_2\) met als basis \(\left{|\phi_m \rangle\right}\)

Nu kan er formeel een basis geconstrueerd worden voor het ganse systeem, bestaande uit de twee subsystemen.

Die basis is: \(|\Psi\rangle = |\psi_n\rangle \otimes|\phi_m\rangle\)

Mijn vraag: is de dichtheidsmatrix van het ganse systeem diagonaal in deze basis?

physicalattraction

Dit is alleen het geval wanneer er geen overlap is tussen beide ruimtes. Als er een vector is in ruimte N die geschreven kan worden met de basisvectoren van ruimte M, dan heb je dus een of meerdere niet-diagonaal elementen in de dichtheidsmatrix en is de dimensie van je totale systeem kleiner dan dim(M)+dim(N).

M.B.

Met 'geen overlap tussen beide ruimten' bedoel je dat ze onafhankelijk zijn, of anders gezegd niet interageren?

De dimensie van het totale systeem is toch NxM en niet N+M. Je neem het tensorproduct en niet de directe som. Het feit of er al dan niet off-diagonaalelementen zijn heef toch geen invloed op de verkleining van de dimensies van de matrix?

physicalattraction

Met geen overlap bedoel ik inderdaad onafhankelijk, oftewel geen interactie. Ik zie niet in waarom je het tensorproduct wil nemen en niet de directe som, maar misschien dat ik je oorspronkelijke vraag al niet snap, dus ik probeer hem te herformuleren.

In systeem 1 zitten

\(N\)

deeltjes. Voor deze

\(N\)

deeltjes kunnen we één golffunctie opschrijven, die we

\(\Psi_{N}\)

noemen. Deze functie is te schrijven als een lineaire combinatie van orthonormale functies, die we

\(\psi_{n}\)

noemen. Stel dat deze samen een basis vormen, en dat er maar een eindig aantal zijn, namelijk

\(D_{N}\)

. Nu geldt dus:

\(\Psi_{N} = \sum_{n=1}^{D_{N}} \alpha_{n} \psi_{n} \)

Merk op dat we een andere basis nodig hebben indien er

\(N+1\)

deeltjes in het systeem zouden zitten. Voor systeem 2 geldt iets analoogs:

\(\Psi_{M} = \sum_{m=1}^{D_{M}} \alpha_{m} \psi_{m} \)

Wanneer we nu beide systemen beschouwen, dan is de

\(M+N\)

-deeltjes golffunctie te schrijven als:

\(\Psi_{M+N} = \sum_{n=1}^{D_{N}} \alpha_{n} \psi_{n} + \sum_{m=1}^{D_{M}} \alpha_{m} \psi_{m} \)

Hieruit valt in te zien dat de dimensie van de gecombineerde ruimte hooguit

\(D_{N} + D_{M}\)

bedraagt. De uiteindelijke dimensie kan lager uitvallen wanneer de twee systemen niet onafhankelijk zijn.

Wanneer je echter wel het tensorproduct neemt, dan is je oorspronkelijke vraag trouwens nog eenvoudiger: het tensorproduct van twee diagonaalmatrices is zelf ook weer een diagonaalmatrix, direct in te zien vanuit de definitie.

Phys

Ik zie niet in waarom je het tensorproduct wil nemen en niet de directe som

Dat kun je ook niet inzien. Of je het tensorproduct of de directe som van je twee Hilbertruimten neemt, hangt af van de fysische context. Aangezien TS zegt het tensorproduct te nemen, is het antwoord inderdaad 'ja', direct vanuit de definitie.

Een bekende constructie is het tensorproduct van de baanruimte en de spinruimte van een deeltje.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Diagonale dichtheidsmatrix?

Diagonale dichtheidsmatrix?

Re: Diagonale dichtheidsmatrix?

Re: Diagonale dichtheidsmatrix?

Re: Diagonale dichtheidsmatrix?

Re: Diagonale dichtheidsmatrix?