Resonance tunneling method

ZVdP

In een project voor quantumfysica ben ik bezig met het zoeken van de energieniveaus van de gebonden toestanden van de tijdsonafhankelijke Schrödinger vergelijking voor een willekeurige potentiaal (eindige put,harmonische osc,..). Dit met een methode genaamd, quantum tunneling method.

Misschien even wat uitleg over deze methode.

[uitleg]

De te onderzoeken potentiaal wordt geplaatst tussen twee rechte wanden (bv een eindige pot. put wordt zoiets: _|^--|_|^--|_)

De potentiaal wordt benaderd door deze op te delen in intervallen waarover de potentiaalfunctie een constante waarde heeft. De oplossingen voor elk interval zijn dan eenvoudig berekenbaar.

We stellen dan een transfermatrix op T=D1P1D2P2....

met Di de interface matrices die uitdrukken wat er gebeurt bij de overgang van 1 interval naar het volgende

en Pi de propagatiematrices die uitdrukken hoe de functie propageert binnen 1 interval.

We kunnen dan stellen: [A1 B1]=T[An Bn] ([X Y] stelt hier een kolomvector 2)

met A1 de inkomende golf in het eerste interval, B1 de gereflecteerde golf.

We stellen dan [An Bn]=[1 0]

Wanneer we nu 1/|A1|² bekijken zou dit gerelateerd zijn aan de intensiteit van de getransmitteerde (monoenergetische) golf.

We veranderen telkens de energie van de golf, en zoeken naar pieken in de grafiek van 1/|A1|². Deze pieken komen dan overeen met de energieniveaus van de gebonden toestanden.

[/uitleg]

Deze methode toegepast op een eindige potentiaalput geeft zeer goede resultaten, maar het geeft wat problemen met de harmonische oscillator.

Ten eerste was de functie van 1/|A1|² niet vloeiend, maar dit is verholpen kunnen worden door meer intervallen te gebruiken.

Maar er is nog een ander probleem, namelijk dat in de grafiek 2 scherpe dalen zitten, waar 1/|A1| zeer klein wordt.

Ongeveer 10^-13 (ter vergelijking: de omliggende waarden zijn ongeveer 0.3 tot 10)

Aangezien dit niet beïnvloed werd door de intervalgrootte, vermoed ik dat er misschien een fysisch effect speelt?

Ook het feit dat wanneer men dicht inzoomt op een dal de functie toch continu blijft, versterkt mijn vermoeden.

Het enige waar ik op dit moment aan kan denken is perfecte reflectie van de inkomende golf, maar gebeurt zoiets ook op zulke discrete energiewaarden?

: 25000.jpg (15.08 KiB) 396 keer bekeken

Figuur (de labels op de assen zijn verkeerd):

Op de x-as: de verschillende energiewaarden van de inkomende golf (echte waarde=waarde op grafiek*0.001eV.

Op de y-as: 1/|A1|²

We zien duidelijk 1 van de resonantiepieken overeenkostig met een eigenenergie,

maar ook de twee vreemde dalen.

eendavid

Zijn deze pieken afhankelijk van de twee wanden geplaatst aan de zijkant (d.w.z. van de dikte en/of de positie van deze wanden)? De dikte van die wand zou eventueel voor een perfecte reflectie kunnen zorgen, alhoewel het voor mij raar aanvoelt dat deze zo scherp zou zijn.

physicalattraction

Ten eerste: interessant model! Heb je nog ergens literatuur hierover liggen die ik kan gaan lezen om er meer over te weten te komen? Over je probleem: eerste instinctieve antwoord zegt mij: numerieke instabiliteit; dit zonder eigenlijk te weten wat er aan de hand is. Je kunt wel de volgende dingen checken:

* Je hebt de intervallen kleiner gemaakt, dit verandert de pieken niet. Met welke energie-sampling meet je? Veranderen de twee pieken als je de energiesampling verandert?

* Komt dit probleem ook voor bij andere potentialen behalve de harmonische oscillator? Ik neem aan dat het grote voordeel van deze methode is dat je eenvoudig elke potentiaal er in kan stoppen die je maar wil.

* Zijn 645 en 810 meV speciale waarden die gerelateerd kunnen worden aan je input? Of het verschil hiertussen?

* In het algemeen: zijn er dingen die je kan veranderen waardoor de pieken veranderen (verdwijnen, verschuiven of iets anders doen)?

ZVdP

Ik heb dit weekend enkel mijn (trage) laptop tot mijn beschikking, ipv mijn vaste pc, dus de nauwkeurigheid waarmee ik de potentiaal onderverdeel staat nu op 2000 intervallen ipv 50000 (vandaar de hakkelingen op onderstaande grafieken).

Ik heb wat gespeeld met een aantal variabelen. En dit zijn mijn bevindingen:

Dingen die de pieken niet (of nauwelijks, ik heb enkel visueel nagekeken) beïnvloeden:

-de hoogte van de hoogte van de twee zijwanden

-de breedte van de twee zijwanden

Wat wel een effect heeft is de diepte van de harmonische oscillator.

Diepste punt potentiaal: -0.25 eV

Hoogste punt: 0eV

: 025.jpg (16.38 KiB) 398 keer bekeken

Diepste punt potentiaal: -0.25/1.6 eV

Hoogste punt: 0eV

: 025nev.jpg (15.58 KiB) 392 keer bekeken

zeer sterk ingezoomd op een piek (ik kan niet meer zeggen welke):

: rare_piek_3.JPG (42.02 KiB) 402 keer bekeken

physicalattraction

Hmmm, interessant om te zien dat wanneer je het diepste punt van de harmonische potentiaal met een factor 0,625 (1/1,6) vermenigvuldigt, de posities van de vreemde pieken ook met een factor 0,625 vermenigvuldigd zijn. Ik ben totaal niet bekend met het model, dus ik kan er helaas niet al te veel over zeggen. Kan het zijn dat je ergens een pool tegenkomt (i.e. een deling door (bijna) nul) in je berekening van A1? Verder vind ik het dubieus dat in de ingezoomde versie er een hoogteverschil tussen links en rechts van de piek zit (0,7 --> 0,5), terwijl deze niet zichtbaar is in de niet-ingezoomde plots. Weet je zeker dat dit een ingezoomde versie is van een van de twee bovenstaande plots?

ZVdP

Vandaag heb ik het er met de prof over gehad, en het effect is volgens hem te wijten aan dat de golf die de potentiaalput (na de eerste wand) binnenkomt in tegenfase is met de golf die weerkaatst is op de tweede wand van de potentiaal.

Enkel het feit dat deze dalen zo smal zijn in vergelijking met de resonantiepieken blijft nog een beetje een mysterie, misschien omdat de inverse van A1² genomen wordt, dat daardoor de nullen smaller zijn.

Dit verklaart ook waarom er tussen elke resonantiepiek zo'n dal zit, en dat de locatie enkel afhankelijk is van de breedte (die op zijn beurt enkel afhankelijk is van de diepte) van de potentiaalput.

Het laatste probleem is dat ik deze dalen enkel tegengekomen ben bij een harmonische potentiaal, en niet bij een eidige (rechthoekige) potentiaalput. Misschien dat hierbij de dalen nog scherper zijn, en mijn energieresolutie niet hoog genoeg is, en ik erover spring?

physicalattraction

Interessant. Om te kijken of dat het daadwerkelijk is, kun je natuurlijk eens met je input-potentiaal gaan spelen. Maak er bijvoorbeeld eens een dubbele parabool van (w-vormig), verwacht je dan dubbel zoveel resonanties? Of maak in plaats van een harmonische (parabolische) potentiaal een lineaire potentiaal (v-vormig), of meerdere lineaire putten na elkaar (zigzag). Ook zou je je rechthoekige put iets kunnen verbreden door hem te convolueren met bijvoorbeeld een Lorentzian of Gaussian piek, of je neemt een andere functie die langzaam van de ene naar de andere waarde gaat (denk bijv. aan Fermi-Dirac functie). In dat geval zou je ook deze nauwe dalen moeten vinden.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Resonance tunneling method

Resonance tunneling method

Re: Resonance tunneling method

Re: Resonance tunneling method

Re: Resonance tunneling method

Re: Resonance tunneling method

Re: Resonance tunneling method

Re: Resonance tunneling method