Springen naar inhoud

[wiskunde] groepentheorie, normal subgroup


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Heezen

    Heezen


  • >250 berichten
  • 481 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 oktober 2009 - 10:55

Bewijs dat als de index van een subgroup H in G een priem is, dat het dan een normal subgroup is.
(het geval index=2 is behandeld, maar ik weet niet hoe je het voor het algemene geval zou moeten doen.)
index van H=grootte van G/ grootte van H ; we hebben hier te maken met eindige groepen.

Groeten,
Procrastination is like masturbation; it's all fun and games till you realize you just fucked urself..
Correct me if I'm wrong.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 24 oktober 2009 - 22:37

Bewijs dat als de index van een subgroup H in G een priem is, dat het dan een normal subgroup is.

Ben je niet vergeten dat p de kleinste priemdeler van |G| moet zijn? Zo ja, dan is hier een bewijsschets. Dit vereist onder andere bekendheid met action, left cosets, first isomorphism theorem en Lagrange' theorem (ik gebruik de Engelse termen omdat dat net zo makkelijk is).

Zij p de index van H in G, dus [G:H]=p. Bekijk de action van G op de verzameling van left cosets van H door multiplicatie. Expliciet, als LaTeX de verz. van left cosets van H, dan heb ik het over de action LaTeX gegeven door LaTeX . Deze action induceert (zoals altijd) een homomorfisme LaTeX (er zijn natuurlijk precies p left cosets). Schrijf l=[H:K] voor de index van K in H, en definieer LaTeX , uiteraard is K normal in G. Er geldt [G:K]=[G:H][H:K]=pl. Met first isomorphism theorem en Lagrange volgt dat pl=|G/K|=[G:K} deelt p!. Maar dan l|(p-1)!. Aangezien p de kleinste priemdeler van |G| is (mijn extra aanname!) volgt l=1, dus H=K, en we wisten al dat K normaal is in G.

Als je dit iets zegt, zou ik het bewijs eens voor jezelf volledig uitschrijven en de details proberen in te vullen. Succes!
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#3

Heezen

    Heezen


  • >250 berichten
  • 481 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 oktober 2009 - 09:24

Dat ben ik inderdaad vergeten te vermelden, bedankt.!
Een ander vraag omtrent groepen:
Stel : |G|=m|H|, met H<G.
Bewijs dat g^(m!) in H zit, voor alle g die in G zit.

Ik snap dat ik iets als ((g^2)^3)^.. moet doen(of omgekeerd), maar de vraag blijft waarom die dan noodzakerlijkwijs dan in H komt. Ik denk dat ik dit moet veralgemeniseren: Als G opgespiltst is in H en g1H, en g ligt niet in H, dan is g^2 wel in H..
Procrastination is like masturbation; it's all fun and games till you realize you just fucked urself..
Correct me if I'm wrong.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures