Springen naar inhoud

Lemma voor het bewijs van de kettingregel voor functies van meerderelijke veranderlijken


  • Log in om te kunnen reageren

#1

motionpictures88

    motionpictures88


  • >100 berichten
  • 197 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 oktober 2009 - 21:28

Hallo,

Ik worstel al geruime tijd met de uitwerking van het volgende lemma:

"Zijn f, de partiŽle afgeleide van eerste orde van f naar x, de partiŽle afgeleide van eerste orde van f naar y, continue funcites in het punt (a,b),

dan bestaan er twee functies:
X : (h,k) afgebeeld op X(h,k) en Y:(h,k) afgebeeld op Y(h,k)

Waarvoor geldt
f(a+h, b+k) = f(a,b) + h *(de partiŽle afgeleide van eerste orde van f naar x in het punt (a,b) )+ k*(de partiŽle afgeleide van eerste orde van f naar y in het punt (a,b) ) + hX(h,k) + kY(h,k)

Waarbij de limiet voor (h,k) naar (0,0) van X(h,k) =0 en limiet voor (h,k) naar (0,0) van Y(h,k) =0 "


Ik begrijp het linkerlid van de vergelijking niet volledig. Ik weet dat dit de definitie van partiŽle afgeleiden toepassen is, de eerste drie termen uit het linkerlid begrijp ik dan ook.
1) Wat ik niet begrijp is de introductie van de twee laatste termen uit dat linkerlid namelijk hX(h,k) + kY(h,k)

2)Tenslotte ben ik enkel vertouwd met een limiet bvb voor h naar 0 , ik vraag me dan ook af hoe je een limiet voor (h,k) naar (0,0) intuÔtief interpreteert.

hartelijk bedankt voor de mogelijkheid om hier feedback te krijgen van andere liefhebbers van exacte wetenschap

Veranderd door motionpictures88, 24 oktober 2009 - 21:31


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 24 oktober 2009 - 23:10

1) Wat ik niet begrijp is de introductie van de twee laatste termen uit dat linkerlid namelijk hX(h,k) + kY(h,k)

Het essentiŽle idee van de (totale) afgeleide is dat deze de functie lokaal (d.w.z. in de omgeving van een punt, in dit geval het punt (a,b)) lineair benadert. Als we f in een omgeving van (a,b) willen benaderen, willen we dat, voor kleine h en k, f(a+h,b+k) ongeveer gelijk is aan f(a,b) plus een veelvoud van de afgeleide. Dus je wilt iets schrijven als LaTeX . Ik gebruik hier de totale afgeleide Df, maar dit is gewoon de matrix van partiŽle afgeleiden, dus LaTeX . De benadering LaTeX maken we nu precies (we schrijven gelijkheid LaTeX ) door er iets bij op te tellen waarvan we eisen dat het snel genoeg naar nul gaat in de limiet naar (a,b). Dit zijn jouw functie X en Y.

2)Tenslotte ben ik enkel vertouwd met een limiet bvb voor h naar 0 , ik vraag me dan ook af hoe je een limiet voor (h,k) naar (0,0) intuÔtief interpreteert.

Vreemd dat je nog geen limieten van functies in meerdere variabelen hebt gezien, maar wel al met de afgeleide van zulke functies werkt!
In ťťn dimensie betekent [f(x)->f(a) als x->a] dat |f(x)-f(a)| willekeurig klein wordt door |x-a| klein genoeg te kiezen. In meerdere dimensies vervangen we de afstandsfunctie LaTeX gewoon door LaTeX . [Zo kun je zelfs in algemene metrische ruimten met een metriek (afstandsfunctie) de limiet van en functie f:X-->Ybeschrijven: LaTeX moet willekeurig klein worden door LaTeX klein genoeg te kiezen. Maar dat terzijde.]

De limiet (h,k) --> (0,0) is gecompliceerder dan een limiet in 1 dimensie. Het is niet voldoende apart (h,k)->(0,k) en (h,k)->(h,0) te bekijken (resp. k en h vasthouden en de ander naar nul laten gaan). Iedere mogelijke manier om (0,0) te benaderen - dus niet alleen via de x-as en y-as zoals net beschreven - moet dezelfde limiet opleveren opdat de limiet bestaat.

Ik weet niet precies wat voor antwoord je wilt, dus ik heb veel woorden gebruikt, hopelijk helpt dit iets.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#3

motionpictures88

    motionpictures88


  • >100 berichten
  • 197 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 oktober 2009 - 17:55

bedankt voor uw feedback!
Ik stel het zeer op prijs dat u veel woorden heeft gebruikt.

Ik sta al een stuk verder maar begrijp nog niet volledig waarom je die functie X en Y nodig hebt.

LaTeX

Als je nu in beide leden van deze vergelijking de limiet voor (h,k) naar (0,0) neemt, kom je toch ook aan f(a+0,b+0) = f(a,b)

Of zijn deze functies net nodig zodat deze gelijkheid zou opgaan en zijn de factoren h en k bij de partiŽle afgeleiden niet voldoende?

Veranderd door motionpictures88, 25 oktober 2009 - 17:57


#4

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 oktober 2009 - 19:25

Of zijn deze functies net nodig zodat deze gelijkheid zou opgaan

Jazeker!

De benadering LaTeX

maken we nu exact (we schrijven gelijkheid LaTeX ) door er iets bij op te tellen waarvan we eisen dat het snel genoeg naar nul gaat in de limiet naar (a,b). Dit zijn jouw functie X en Y.

Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#5

motionpictures88

    motionpictures88


  • >100 berichten
  • 197 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 oktober 2009 - 20:48

Ok nogmaals bedankt, ik heb nu al geruime tijd gehad om hierover na te denken en ben terechtgekomen bij twee vragen waarop ik geen antwoord vind

mbt ( hX(h,k) + kY(h,k) ): waarom staan de factoren h en k naast de functies X en Y ?

Op welke manier corrigeren die twee termen de vergelijking ? of wat is de link met de andere termen ?

Veranderd door motionpictures88, 25 oktober 2009 - 20:48


#6

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 26 oktober 2009 - 02:20

waarom staan de factoren h en k naast de functies X en Y ?

Je kunt ook zeggen dat er functies X' en Y' zijn zodat f(a+h, b+k) = f(a,b) + h *(de partiŽle afgeleide van eerste orde van f naar x in het punt (a,b) )+ k*(de partiŽle afgeleide van eerste orde van f naar y in het punt (a,b) ) + X'(h,k) + Y'(h,k).
Deze functies moeten dan voldoen aan X'/h -> 0 en Y'/k -> 0. Dit is m.i. zelfs inzichtelijker (maar equivalent), want het delen door h,k wordt duidelijk uit de definitie van afgeleide: In het algemeen moet de (totale) afgeleide Df (zoals gezegd is dit de matrix van partiŽle afgeleiden) voldoen aan
LaTeX

Ik denk dat je het beste alvast verder kunt gaan met de stelling(en) die volg(t)(en), omdat dan duidelijk zal worden hoe dit lemma wordt gebruikt. Het lemma zegt alleen dat deze twee functie bestaan, in volgende stelling(en) zal duidelijk worden waarom dit bruikbaar is.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#7

motionpictures88

    motionpictures88


  • >100 berichten
  • 197 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 26 oktober 2009 - 22:04

Ik denk dat je het beste alvast verder kunt gaan met de stelling(en) die volg(t)(en), omdat dan duidelijk zal worden hoe dit lemma wordt gebruikt. Het lemma zegt alleen dat deze twee functie bestaan, in volgende stelling(en) zal duidelijk worden waarom dit bruikbaar is.


Inderdaad, verder in mijn cursus wordt de totale differentiaal uit de doeken gedaan, ik hoop dit te snappen als ik inzicht verworven heb in dat hoofdstuk

bedankt voor uw hulp!

Veranderd door motionpictures88, 26 oktober 2009 - 22:06


#8

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 26 oktober 2009 - 23:30

Graag gedaan; als je dan nog vragen hebt zijn die natuurlijk altijd welkom!
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures