[wiskunde] complexe goniometrische vergelijkingen

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

[wiskunde] complexe goniometrische vergelijkingen

Hoe los je de vergelijking sin(z)=2 op in C?

Ik weet dat je de complexe sinus kan schrijven in de vorm van e-machten, maar zelfs dan geraak ik er niet uit omdat ik iets krijg van de vorm e^macht = e^(andere macht)+e^(nog een andere macht)

Kan iemand me aub hierbij helpen?

Alvast bedankt!
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.

Berichten: 194

Re: [wiskunde] complexe goniometrische vergelijkingen

Stel p = eiz en vereenvoudig.

Dan krijg je een vierkantsvergelijking in p.

Los die eerst op.
Spoiler: [+]
Of stel meteen z=iw; dus sin(iw) = - sinh(w);

die vkv hierboven oplossen komt neer op arsinh schrijven m.b.v. de ln

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: [wiskunde] complexe goniometrische vergelijkingen

Laat ook wat zien.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: [wiskunde] complexe goniometrische vergelijkingen

Ik verkrijg aldus: iz=ln(i(2+/-2sqrt(3))...

Dit kan ik ook niet uitwerken.

Kan iemand me nog een hint geven, aub?

Erg bedankt!
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: [wiskunde] complexe goniometrische vergelijkingen

Dit kan niet. Schrijf z=x+iy en werk sinz=(e^i(x+iy)-e^-i(x+iy))/2 netjes uit.

Bedenk ook: e^(ix)=cos(x)+isin(x)

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: [wiskunde] complexe goniometrische vergelijkingen

Safe schreef:Dit kan niet. Schrijf z=x+iy en werk sinz=(e^i(x+iy)-e^-i(x+iy))/2 netjes uit.

Bedenk ook: e^(ix)=cos(x)+isin(x)


Moet dat niet 2i zijn, of vergis ik me?
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: [wiskunde] complexe goniometrische vergelijkingen

"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 3.505

Re: [wiskunde] complexe goniometrische vergelijkingen

Ga uit van sin z = -½i(eiz-e-iz) en stel iz = p. Wat levert dit voor vergelijking in p op?
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 3.505

Re: [wiskunde] complexe goniometrische vergelijkingen

Correctie op mijn vorige reply: stel eiz = p.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: [wiskunde] complexe goniometrische vergelijkingen

Moet dat niet 2i zijn, of vergis ik me?
Klopt.
\(y^{-y}(\cos(x)+i\sin(x)-e^y(\cos(x)-i\sin(x))=4i\)
Splits nu in reëel en imaginair deel en los op naar x en y.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: [wiskunde] complexe goniometrische vergelijkingen

Ik heb het gevonden, bedankt!

:eusa_whistle: /2+2k ](*,) +/-i(argcosh(2))

Bij een soortgelijke oefening, sin(z)=i,

bekom ik echter alleen de oplossing k ;) +argsinh(-1)^k,

en er zou een tweede oplossing moeten zijn die van de volgende vorm is:

(vierdemachtswortel van 2221)*e^[(i/2)Bgtan(14/45)(+i ](*,) )] waarbij het vetgedrukte stuk weggelaten moet worden om een derde oplossing te bekomen.

Hoe geraak je hieraan?
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: [wiskunde] complexe goniometrische vergelijkingen

In fysics I trust schreef:Ik heb het gevonden, bedankt!

:eusa_whistle: /2+2k ](*,) +/-i(argcosh(2))

Bij een soortgelijke oefening, sin(z)=i,

bekom ik echter alleen de oplossing k ;) +argsinh(-1)^k,

en er zou een tweede oplossing moeten zijn die van de volgende vorm is:

(vierdemachtswortel van 2221)*e^[(i/2)Bgtan(14/45)(+i ](*,) )] waarbij het vetgedrukte stuk weggelaten moet worden om een derde oplossing te bekomen.

Hoe geraak je hieraan?
Ik wantrouw het antwoord.

Laat je uitwerking toch maar eens zien

Evenals de uitwerking van het eerste antwoord

Opm: Wat betekent eigenlijk argcosh(2)?

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: [wiskunde] complexe goniometrische vergelijkingen

Die laatste twee antwoorden waren inderdaad niet correct, de oplossingensleutel had twee antwoorden van de volgende oefening gegeven bij de verkeerde opgave.

Echter, k :eusa_whistle: +argsinh(-1)^k, bekom ik wel, door de formule

sin(x+yi)=sin(x)cosh(y)+icos(x)sinh(y) te gebruiken.

Hieruit volgt een stelsel (overeenkomstige leden gelijk) waardoor

sin(x)cosh(y)=0

cos(x)sinh(y)=1

Hieruit volgt x=k ](*,) en dus ook sinh(y)=+/-1.
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: [wiskunde] complexe goniometrische vergelijkingen

Ikwist niet dat je deze formule al kende. Maar je opl moet netter. Want bv:

sin(x)=0 => x=2kpi => cox(x)=1 dan volgt sinh(y)=1

Want er is nog een vraag: wat is z?

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: [wiskunde] complexe goniometrische vergelijkingen

Ik heb het bijna beet, maat ik stel me nog volgende vragen:
  • oplossing van sin(z)=2 is :eusa_whistle: /2 +2 k ](*,) +/- i argcosh(2)
=> Waarom + of - ? Ik bekom enkel de + oplossing.
  • oplossing van sin(z)=1 is k ;) +argsinh(-1)^k,
=> Ik bekom (-1)^(k+1)

Ik zit dus in de buurt, maar ben er nog niet volledig.

Kan iemand me nogmaals helpen, aub?

Erg bedankt!

@ Safe: argcosh = de inverse van de cosinus hyperbolicus
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.

Reageer