Springen naar inhoud

[wiskunde] grafische voorstelling van de oplossingen van complexe vergelijkingen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 25 oktober 2009 - 22:23

Ik stel me de vraag hoe je de oplossing van
sin(z)=t
grafisch voorstelt, waarbij we het hebben over de complexe sinus.

Is dit een reeks stippen, namelijk telkens de punten waar de sinus de rechte y=t kruist, of is het nog anders.

Trouwens, hoe moet ik me de grafiek van de complexe sinus inbeelden?
Heeft zij nog steeds dezelfde periode? Maxima? Ziet zij er nog steeds hetzelfde uit?
...

Erg bedankt!
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 oktober 2009 - 22:32

Ik stel me de vraag hoe je de oplossing van
sin(z)=t
grafisch voorstelt, waarbij we het hebben over de complexe sinus.

Wat is t, een constante? Een complex getal?


Trouwens, hoe moet ik me de grafiek van de complexe sinus inbeelden?
Heeft zij nog steeds dezelfde periode? Maxima? Ziet zij er nog steeds hetzelfde uit?

Je moet je die grafiek niet meer voorstellen zoals y = sin(x), een complex getal stel je voor door twee reŽle getallen dus de grafiek wordt een stuk ingewikkelder...!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 25 oktober 2009 - 22:50

t een constante, idd.

Maar als de grafiek niet meer voor te stellen is als y=sin(x), dan is het misschien ook niet meer waar om te stellen dat de snijpunten losse punten zijn?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#4

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 25 oktober 2009 - 22:52

Gebruikelijk: w=f(z),
LaTeX
We hebben te maken met een 4-dimensionale tekening. Dat is niet voor te stellen.
Doe het volgende:
Apart tekenen van z-vlak met x en y, w-vlak met u en v.
Dan bekijken we bv de eenheidscirkel in het z-vlak en de afbeelding daarvan in het w-vlak onder de afb w=f(z)
Bv w=2/z
Probeer het eens.

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 oktober 2009 - 22:54

Maar als de grafiek niet meer voor te stellen is als y=sin(x), dan is het misschien ook niet meer waar om te stellen dat de snijpunten losse punten zijn?

Zo eenvoudig is het niet meer. Als we terug naar de reŽle functies dalen, heb je y = sin(x): 2D. Een as voor de onafhankelijke veranderlijke (x), en eentje voor de afhankelijke (y). Oplossingen van y = t of dus sin(x) = t zijn snijpunten van de grafiek van y = sin(x) met de lijn op constante hoogte y = t.

In het complexe domein, is sin(z) al een van twee onafhankelijke veranderlijken via z = x+iy. Een derde veranderlijke kan je nog in 3D weergeven, maar ook sin(z) is complex, voor het beeld heb je dus ook twee veranderlijken...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#6

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 26 oktober 2009 - 21:11

Wat u zegt, lijkt me logisch, maar in ons boek staat letterlijk de opgave: stel van volgende vergelijking de oplossingenverzameling voor in het complexe vlak: sin(z)=t met t reŽle parameter...

Kan dit dan niet?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 26 oktober 2009 - 21:41

Wat is t, een constante? Een complex getal?

t een constante, idd.

Dus ik veronderstelde een complexe constante, nu is t opeens een reŽle parameter... :eusa_whistle:

Als sin(z) = t met t reŽel, moet het imaginair deel alvast 0 zijn. Schrijf sin(x+iy) eens uit.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#8

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 26 oktober 2009 - 22:04

Sorry, idd verkeerd van me.

Ik schrijf sinus als sin(x)cosh(y)+i cos(x)sinh(y)
Dan geldt:

sin(x)cosh(y)=t
cos(x)sinh(y)=0

Uit deze tweede vergelijking leid ik af: x = :eusa_whistle:/2+2k ](*,)
(sinh=0 wordt uitgesloten omdat het cosh=1 impliceert in de andere vergelijking en op die manier kan t de verzameling R niet volledig doorlopen, aangezien het bereik van sin(x) beperkt is tot [-1,1] )

Dus sin(x)=1
Dus cosh(y)=t

Maar ik weet evenmin hoe ik dit moet voorstellen?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 26 oktober 2009 - 22:27

De voorstelling gaat over een (eventueel willekeurige, maar) vaste waarde voor t, toch?

Voor de nulpunten van cos(x): x = pi/2 + k.pi, anders mis je de helft van de oplossingen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#10

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 26 oktober 2009 - 22:32

t doorloopt R, niet? Het is toch een reŽle parameter?

Wat bedoelt u met
"Voor de nulpunten van cos(x): x = pi/2 + k.pi, anders mis je de helft van de oplossingen. "

Alvast bedankt!
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 26 oktober 2009 - 22:36

Wel, cos(x) = 0 als x = ...? Jij schreef pi/2+k.2pi, maar toch ook -pi/2+k.2pi...? Samen te nemen als pi/2+k.pi.

Voor het verder verloop van de opgave: heb je een voorbeeld dat toont wat er precies verwacht wordt?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#12

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 26 oktober 2009 - 22:48

Spijtig genoeg hebben we enkel een slechte oplossingenbundel ter beschikking en een nog slechtere leerkracht ;-(

Dat van kpi in plaats van 2kpi begrijp ik nu al, bedankt daarvoor.

Oplossingensleutel geeft idd deze waarden voor x, en voor y geeft hij: y=argch(t)

Voor x wordt ook Bgsint +2kpi vermeld...
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 26 oktober 2009 - 23:03

Je had: cos(x)sinh(y)=0. Hiervoor vond je de eerder vermelde x-waarden en door de tweede factor ook y=0.

Als y=0, is cosh(y) = 1 dus heb je sin(x)=t, dit levert je oplossing met bgsin.
Als cos(x) = 0, is sin(x) soms 1, soms -1. Hieruit los je :eusa_whistle: cosh(y) = t op.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures