[wiskunde] partiële afgeleide

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Berichten: 156

[wiskunde] parti

(excuus [wiskunde] vergeten in topictitel)

Wie vindt hier mijn fout?

Afbeelding

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: [wiskunde] parti

Hoe kom je aan je eerste tussenresultaat?

Berichten: 503

Re: [wiskunde] parti

\(e^{w/t} = { ( e^{1/t} ) }^{w}\)
en dat is niet gelijk aan
\({(e^{t})}^{-w} = e^{-wt}\)

Berichten: 156

Re: [wiskunde] parti

Inderdaad een fout bij de exponenten. Maar als ik verder reken kom ik nog niet tot de juiste uitkomst. Volgens mij klopt mijn afgeleide van e^(1/t) niet (dit is volgens mij e^(1/t) en wordt gebruikt als eerste factor)

Afbeelding

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: [wiskunde] parti

http://proxoz.com/tmp/afgel_oef.jpg

Kijk nog eens naar de tweede regel:

eerste term: goed

tweede term: (immers productregel) je moet nu de e-macht differentiëren, dus krijg je die e-macht, daarna als factor de afgeleide van w/t (naar t, dus w constant, denk bv aan 3/t).

Wat is de afgeleide (naar t) van 1/t? (weet je het resultaat uit je hoofd?)

Berichten: 156

Re: [wiskunde] parti

Ik ben niet meer mee ...

Ik leid het onderstaande af door middel van de kettingregel

Afbeelding

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] parti

Vertrek van:
\({\left( {{e^{\frac{1}{t}}}} \right)^w} = {e^{\frac{w}{t}}} \Rightarrow {\left( {{e^{\frac{w}{t}}}} \right)^\prime } = \cdots \)
Pas nu de kettingregel toe.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 2.609

Re: [wiskunde] parti

\(f(t) = e^{w*(\frac{1}{t})}\)
Dus je hebt een macht, een exponentiele functie en dan pas die 1/t

Dit geeft:
\(f'(t) = w*e^{(w-1)*(1/t)}*e^{w*(1/t)}*\frac{(-1)}{t^2^}\)
En dit geeft na vereenvoudiging:
\(f'(t) =- \frac{ w*e^{w/t} }{t^2}\)

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] parti

Lijkt me eenvoudiger om de exponenten eerst samen te nemen, maar sowieso laten we de vragensteller liever zelf verder proberen...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 156

Re: [wiskunde] parti

Als ik als eerste deel van mijn ketting e^w neem en mijn tweede deel van de ketting (e^w)^(1/t) dan kom ik uit:

Afbeelding

Ik zit dus helemaal verkeerd en ik zie welke basisrekenregels er precies worden toegepast bij Xenion

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: [wiskunde] parti

Begin eerst eens met alleen maar functies in t.

Differentieer:

1
\(e^t\)
2
\(e^{3t}\)
3
\(e^{t^2}\)
4
\(e^{1/t}\)

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] parti

Neem de exponenten samen en ga uit van:
\({\left( {{e^{\frac{w}{t}}}} \right)^\prime } = \cdots \)
Wat is de afgeleide van et? En als het niet gewoon t, maar f(t) = een functie van t is, wat is dan de afgeleide van ef(t)?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 156

Re: [wiskunde] parti

Safe schreef:Begin eerst eens met alleen maar functies in t.

Differentieer:

1
\(e^t\)
En als het niet gewoon t, maar f(t) = een functie van t is, wat is dan de afgeleide van ef(t)?


Dat is mijn probleem, hoe begin daar aan bij een willekeurige f(t)?

Het lukt mij alleen als ik de machten kan "verschuiven" (zie vbn hierboven), maar niet bij een willekeurige f(t)

Berichten: 8.614

Re: [wiskunde] parti

2) en 3) zijn fout. Bovendien hoef je helemaal geen exponenten te verschuiven. Neem ze samen, zoals TD al zei.

Waarin verschillen 2), 3) en 4) van 1)? In de laatste 3 zijn de exponenten geen onbekenden meer, maar functies (respectievelijk \(f(t) = 3t\), \(f(t) = t^2\) en \(f(t) = \frac1t\)).

Vanaf het moment dat het argument (hier: exponent) geen onbekende meer is maar een functie, dien je de kettingregel toe te passen. Ik doe 2) even voor:
\(\left(e^{3t}\right)' = e^{3t}\cdot(3t)' = 3e^{3t}\)
Volg je dat? Lukken 3) en 4) nu ook? En de oorspronkelijke opgave?
Geloof niet alles wat je leest.


Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] parti

Dat is mijn probleem, hoe begin daar aan bij een willekeurige f(t)?
Dat is net de kettingregel: je moet nog vermenigvuldigen met de afgeleide van die functie:
\({\left( {{e^{f\left( t \right)}}} \right)^\prime } = {e^{f\left( t \right)}} \cdot f'\left( t \right)\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer