Springen naar inhoud

[wiskunde] differentiaalvergelijking: niet standaardvorm


  • Log in om te kunnen reageren

#1

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 26 oktober 2009 - 23:22

y"+y=8cos(x)cos(2x)
Het rechterlid kan ik herschrijven door de formules van Simpson te gebruiken.
Echter, dan bekom ik een cos(x) en een cos(3x)

Speelt het een rol dat de argumenten van de cosinus niet gelijk zijn?

Welke y(p), particuliere oplossing hoort hierbij?
Ik had gedacht aan Acos(3x)+Bcos(x), maar dat lijkt me bizar, aangezien je niets meer moet uitrekenen dan: immers, je leest gewoon af dat: A=B=4 op die manier...

Wat is wel een correcte manier om een DV van dit type op te lossen?

Nogmaals bedankt!
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 26 oktober 2009 - 23:29

Je begint goed, maar stel je bij een rechterlid van bijvoorbeeld "cos(2x)" ook enkel A.cos(2x) als particuliere oplossing voor...?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 26 oktober 2009 - 23:32

Neen, Acos(bx)+Bcos(bx), en eventueel vermenigvuldigd met x als het om een oplossing van de karakteristieke vergelijking gaat.

Maar mijn voorgestelde oplossing klopt in dit specifieke geval?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 26 oktober 2009 - 23:35

Neen, Acos(bx)+Bcos(bx)

Dit heeft geen zin... En vanwaar de bx? Ik vroeg naar 2x, maar je mag het ook algemeen voor bx geven. Je stelt normaal gezien echter niet twee keer een cosinus voor...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 26 oktober 2009 - 23:46

Dus: ik heb in het linkerlid een term in y", een term in y' en een term in y.
We stellen de karakteristieke vergelijking op.
Deze heeft ofwel twee verschillende reŽle oplossingen ofwel een samenvallende ("dubbele") ofwel twee complexe, toegevoegde.
Het belang van deze oplossing situeert zich in het eventueel vermenigvuldigen van de voorgestelde particuliere oplossing indien er sprake is van een oplossing van de karakteristieke vergelijking.

Het rechterlid is normaal van de vorm:

e^(ax)[P1cos(bx)+P2sin(bx)]

Als y(p) stellen we steeds een y(p) voor van de vorm

e^(ax)[Q1cos(bx)+Q2sin(bx)]
waarbij de graad van de veeltermen gelijk is aan de grootste graad uit {P1,P2}, maw iets van de vorm ...+...+Ax≥+Bx≤+Cx+D voor elk van de veeltermen Q

1/ Wat doe je nu als de argumenten van sin en cos verschillen?
2/ Er cosh(x) in het rechterlid staat?
3/ Er sin≤(x) in het rechterlid staat?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 26 oktober 2009 - 23:50

1/ Wat doe je nu als de argumenten van sin en cos verschillen?

De DV is lineair: voor elk van beide afzonderlijk zou je een oplossing kunnen voorstellen, nu is je voorstel de som.
Dus je hebt een A.cos(px)+B.sin(px) en ook nog een C.cos(qx)+D.sin(qx) als je zowel px als qx als argument hebt.

2/ Er cosh(x) in het rechterlid staat?
3/ Er sin≤(x) in het rechterlid staat?

Herleiden naar termen die wel onder de standaardvorm vallen, eventueel meerdere termen (zie dan 1).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 26 oktober 2009 - 23:54

Bij cosh(x) zie ik niet in hoe dat moet (ik heb het al een paar keer geprobeerd), maar ik weet niet wat je moet doen met de e^ax en e^-ax...
Maak je daar dan Ce^ax +De^-ax van?

Erg bedankt voor uw geduld en uitleg ;-)
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 26 oktober 2009 - 23:56

Ja, dat kan je doen: ook beide voorstellen optellen (lineariteit van de DV gebruiken). Je zou ook een lineaire combinatie van cosh(x) en sinh(x) kunnen voorstellen, maar dat valt niet binnen je 'standaardvorm'.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures