Springen naar inhoud

[wiskunde] permutaties


  • Log in om te kunnen reageren

#1

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 31 oktober 2009 - 10:33

Vroeger, in de combinatieleer, werd een permutatie gedefinieerd als n!

Nu wordt een permutatie gedefinieerd als een bijectie van een verzameling A naar zichzelf.
Daarbij moeten we bewijzen dat het aantal elementen van S(A) n! is.
[S(A) staat voor de symmetrische groep]

Heeft iemand een hint voor me, aub?

Dank bij voorbaat!
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 31 oktober 2009 - 11:32

Stel A = {a1,a2,...an}, de bijectie ligt vast als je het beeld van elk element geeft.

Stuur a1 op ai, je hebt n mogelijkheden voor i (i van 1 tot n).
Stuur a2 op aj, je hebt n-1 mogelijkheden voor j (j van 1 tot n, maar niet i).
...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 31 oktober 2009 - 11:50

Bedankt!

Kan je de bijectiviteit ook gebruiken om aan te tonen dat S(A), uitgerust met de bewerking ° een groep is?

Dus te bewijzen dat
  • associatief is
  • commutatief is
  • een neutraal element heeft
  • een tegengesteld element heeft

Als u er ééntje voordoet, kan ik de andere misschien zelf vinden?

Nogmaals bedankt!
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 31 oktober 2009 - 12:05

Je hebt 2 niet nodig om een groep te zijn. Probeer eens een van de andere...?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 31 oktober 2009 - 13:19

Ik neem bijvoorbeeld de associativiteit.

We nemen een element a1 uit A.
We nemen een element a2 uit A.
We nemen een element a3 uit A.

Moet ik dan het volgende bewijzen?

σ (aaa3)=σ (a1)°σ(aa3)=σ(aa2)°σ (a3)

Dank!
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 31 oktober 2009 - 13:27

De bewijsjes zijn redelijk "triviaal", als je op de gekende eigenschappen van afbeeldingen kan steunen.

Voor f,g,h resepctievelijk tussen verzamelingen A -> B -> C -> D geldt associativiteit van afbeeldingen, neem het speciale geval van A=B=C=D=X en je hebt associativiteit binnen S(X).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 31 oktober 2009 - 13:55

Erg bedankt!

  • Voor het neutraal element dacht ik aan de identiteit op A, met name: f: A :eusa_whistle: A: a ](*,) a, dus de functie 1A.
  • Voor het tegengesteld element dacht ik aan de inversie die per definitie bestaat aangezien het gaat over een bijectie.
Is dat correct?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 31 oktober 2009 - 13:56

Inderdaad! Je kan dus gewoon de gekende eigenschappen over (bijectieve) afbeeldingen hierop toepassen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 31 oktober 2009 - 14:00

Vroeger, in de combinatieleer, werd een permutatie gedefinieerd als n!

Het lijkt me erg sterk dat een permutatie als een getal werd gedefinieerd.

De groepseigenschappen volgen direct uit de bekende eigenschappen van bijecties.
\\edit: de laatste zin is overbodig, is reeds gezegd zie ik nu :eusa_whistle:

Veranderd door Phys, 31 oktober 2009 - 14:00

Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#10

mathfreak

    mathfreak


  • >1k berichten
  • 2458 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 oktober 2009 - 14:47

Vroeger, in de combinatieleer, werd een permutatie gedefinieerd als n!

Wat jij bedoelt is dat het aantal mogelijke permutaties in een verzameling van n verschillende elementen wordt gedefinieerd als n!. Dit is nog steeds de manier waarop dit hier in het wiskunde-onderwijs in Nederland gedaan wordt.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures