Springen naar inhoud

[wiskunde] absolute waarde


  • Log in om te kunnen reageren

#1

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 31 oktober 2009 - 15:31

De absolute waarde van een som is kleiner dan de som van de absolute waarden...

Is dit hetzelfde als de driehoeksongelijkheid?
Hoe begin je anders aan dit soort bewijs?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 31 oktober 2009 - 15:37

De absolute waarde van een som is kleiner dan de som van de absolute waarden...

Is dit hetzelfde als de driehoeksongelijkheid?

Ja (voor twee termen althans).

Hoe begin je anders aan dit soort bewijs?

Door herhaaldelijk de driehoeksongelijkheid toe te passen.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#3

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 31 oktober 2009 - 15:48

Dus eerst de ongelijkheid van Cauchy bewijzen en daaruit de driehoeksongelijkheid afleiden (met vectoren dus) en vervolgens zeggen dat R zelf ook een vectorruimte is en dat bijgevolg ook geldt:
|x+y|=<|x|+|y|

Is het dat?

Nogmaals bedankt!
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 31 oktober 2009 - 16:00

Waar heb je vectorruimte voor nodig? De driehoeksongelijkheid is te bewijzen vanuit Cauchy-Schwartz, of gewoon vanuit eigenschappen van de absolute waarde.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 31 oktober 2009 - 16:34

... of gewoon vanuit eigenschappen van de absolute waarde.


Hoe dat zo?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 31 oktober 2009 - 16:37

Je hebt sowieso -|x| < x < |x| en zo ook voor y. Tel die uitdrukkingen eens lid aan lid op.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 31 oktober 2009 - 16:44

Je hebt het over de absolute waarde, normaal werkt men dan in R of C (in algemene vectorruimten heet het een norm). Ik neem aan dat de absolute waarde (voor R of C) al bewezen is in je cursus, zo niet kan dat bijna triviaal uit de definitie zoals TD zegt. Voor de Euclidische norm LaTeX kan de driehoeksongelijkheid inderdaad uit Cauchy-Schwartz worden bewezen. Graag iets duidelijker zijn over de opgave.

Als je eenmaal weet dat LaTeX , dan kun je dit met inductie uitbreiden naar willekeurige eindige sommen LaTeX .
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 31 oktober 2009 - 16:47

Ik vermoed dat het over :eusa_whistle: gaat, dat de absolute waarde |x| gedefinieerd is en dat de driehoeksongelijkheid (eenvoudigste vorm, zoals in woorden gegeven in het startbericht) te bewijzen valt. Dat kan met Cauchy-Schwartz (zoals reeds gezegd), maar het kan ook zonder.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 31 oktober 2009 - 17:32

Opnieuw bedankt allemaal!
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 31 oktober 2009 - 17:36

Is het gelukt om de driehoeksongelijkheid zo te bewijzen, eventueel zonder Cauchy-Schwartz?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 31 oktober 2009 - 17:57

Ik dacht aan dit:

-(x+y)<=|x+y|<=(x+y) eigenschap absolute waarde


-x<=|x|<=x
-y<=|y|<=y
------------
-(x+y)<=|x|+|y|<=x+y

en dat lukt niet verder ;-(

Maar op http://hhofstede.nl/...ngelijkheid.htm
heb ik wel een meetkundige interpretatie gevonden.

Ik kan het nu dus:
1) meetkundig aantonen
2) via Cauchy-Schwartz aantonen
3) nog steeds niet gewoon via de eigenschappen van absolute waarde...
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#12

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 31 oktober 2009 - 18:25

Ik dacht aan dit:

-x<=|x|<=x
-y<=|y|<=y
------------

Je moet wel de reacties/hints hier lezen:

Je hebt sowieso -|x| < x < |x| en zo ook voor y. Tel die uitdrukkingen eens lid aan lid op.

Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#13

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 november 2009 - 12:57

Die strikte ongelijkheden LaTeX van TD hierboven moeten natuurlijk niet-strikt LaTeX zijn :eusa_whistle:

Je kunt |x+y|<=|x|+|y| nog directer uit de definitie bewijzen. Als x=0 of y=0 is het triviaal. Er zijn nu vier mogelijkheden
1) x>0,y>0
2) x<0,y<0
3) x>0,y<0
4) x<0,y>0
Vanwege symmetrie in x en y van de driehoeksongelijkheid hoef je maar één van 3) en 4) te behandelen.
Geval 1 en 2 zijn heel eenvoudig, daar geldt zelfs gelijkheid. Geval 3 (of 4) is net ietsje meer werk.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#14

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 november 2009 - 13:00

Moeten inderdaad niet-strikt zijn; je hebt dus:

-|x| :eusa_whistle: x ;) |x|
-|y| ;) y ](*,) |y|
------------------
-(|x|+|y|) ](*,) x+y 8-) |x|+|y|

Maar wat betekent dit...? Het is van de vorm: "-a ;) b ;) a".
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#15

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 03 november 2009 - 11:09

@Phys:

Stel a>0 en b<0,
Dan geldt:
a=|a| (volgt uit definitie absolute waarde)
b<|b| (volgt uit definitie absolute waarde)
---------------------------------------------
a+b<|a|+|b|

  • Zij a+b>=0
Dan geldt:
a+b=|a+b|
en dus ook:
|a+b|<|a|+|b|

2. Zij a+b<0

Dan geldt:

a+b<|a+b|
Maar waarom is in dit geval ook |a+b|<|a|+|b| geldig?


@TD:

De absolute waarde voldoet hieraan, maar mag je hier ook uit besluiten dat |a+b|<|a|+|b| geldt?


Nogmaals bedankt voor jullie moeite!
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures