Springen naar inhoud

[voortgezette analyse] afgeleiden gelijkstellen aan 0 (lagrange)


  • Log in om te kunnen reageren

#1

RobinvanKaathoven

    RobinvanKaathoven


  • 0 - 25 berichten
  • 7 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 31 oktober 2009 - 17:31

Ik kijk regelmatig op dit forum om mijn vragen te laten beantwoorden, maar ik zit nu met een probleem dat ik zo een twee drie niet terug kon vinden. Vandaar dit topic.

Ik ben bezig met functies van 2 variabelen met bepaalde randvoorwaarden. De bedoeling is om een maximum, een minimum of de kritiek punten te vinden. Dit doe ik dan met behulp van de LaGrange-methode.

De opdracht luidt als volgt:

[opdracht]
Zij LaTeX

Zij LaTeX de functie op LaTeX gegeven door LaTeX .

Deze functie heeft een maximum en een minimum. Bereken dat maximum.

Vervolgens de oplossing:

De methode van LaGrange multiplicatoren zegt dat we de afgeleiden van de functie:
LaTeX
gelijk aan 0 moeten stellen.

LaTeX

Ik bepaal de partiŽel afgeleiden:

LaTeX
LaTeX
LaTeX

En nu komt het gedeelte waar ik vast zit. Ik heb de oplossing gekregen, maar krijg het niet voor elkaar om deze te reproduceren. Men gaat als volgt verder:

(het gaat vooral om de overgang naar de vergelijkingen hieronder. 30*6 = 180, 4*9=36 en 4*6 = 24, en er wordt ergens gedeeld door lambda. Maar met welke stappen, rekenregels of trucs gebeurt dit?)

Daaruit volgt LaTeX .

Er zijn dus twee mogelijkheden:
Als LaTeX dan ligt LaTeX op K als LaTeX dus LaTeX of LaTeX
De functie heeft dan de waarde nul.


Als LaTeX dan is LaTeX , dus ligt (x, y) op K als LaTeX .
Dan is LaTeX
dus LaTeX
en LaTeX De functiewaarde is dan 0.99952...

[/opdracht]

Wat me dus eigenlijk niet lukt is het gelijkstellen van de afgeleides aan 0.


Ik heb hier nog meer voorbeelden van waar ik ook op hetzelfde punt vast kom te zitten.

Bv. de volgende partiŽel afgeleiden:

LaTeX
LaTeX

(En hier ben ik het vervolgens weer kwijt)

Daaruit volgt LaTeX .

of deze:

LaTeX
LaTeX

Daaruit volgt

LaTeX
LaTeX

ofwel

LaTeX
ofwel LaTeX , dus LaTeX of LaTeX .

Voor LaTeX is LaTeX , en de afstand tot de oorsprong is 2.
Voor LaTeX is LaTeX , en de afstand tot de oorsprong is 3.

Wat mis ik hier nu precies? Het lijkt op iets heel eenvoudigs. Hartelijk dank voor het lezen van mijn bericht. Hopelijk kan iemand me verder helpen.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 31 oktober 2009 - 17:43

LaTeX


LaTeX

Daaruit volgt LaTeX .

Heel eenvoudig:
LaTeX
oftewel LaTeX
Delen door lambda:
LaTeX
Delen door 36:
LaTeX

Veranderd door Phys, 31 oktober 2009 - 17:44

Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#3

RobinvanKaathoven

    RobinvanKaathoven


  • 0 - 25 berichten
  • 7 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 31 oktober 2009 - 18:29

Heel eenvoudig:
LaTeX


oftewel LaTeX
Delen door lambda:
LaTeX
Delen door 36:
LaTeX



Ok, dat ziet er inderdaad logisch uit! Bedankt voor de snelle reactie!

Maar wat ik niet begrijp is waarom dit:

LaTeX

zomaar kan.

Begrijp ik goed dat dit is wat er eigenlijk gebeurt (met a.b,c,d,e,f,g,h als constanten):

LaTeX
LaTeX

En dat je dan kan/mag zeggen:

LaTeX ?

Is dat wat mag? En waarom dan?
Als ik het zie staan (die LaTeX ) dan vraag ik me af waarom die elementen met elkaar vermenigvuldigd worden.

groet en nogmaals bedankt!

#4

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 31 oktober 2009 - 18:35

Maar wat ik niet begrijp is waarom dit:

LaTeX



zomaar kan.

Ik doe niets magisch, alleen algebra. Als a+b=0 en c+d=0, dan a=0-b=-b en c=0-d=-d. Dus a*b=(-c)*(-d).

In dit geval LaTeX ; LaTeX
LaTeX ; LaTeX .
LaTeX
LaTeX .

Veranderd door Phys, 31 oktober 2009 - 18:36

Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#5

RobinvanKaathoven

    RobinvanKaathoven


  • 0 - 25 berichten
  • 7 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 31 oktober 2009 - 22:02

Ok dan! Dat wist ik dus niet.

Hardstikke bedankt. Probleem opgelost.

#6

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 31 oktober 2009 - 22:14

Ok dan! Dat wist ik dus niet.

Wat wist je niet? Vast wel dat "Als a+b=0 en c+d=0, dan a=0-b=-b"? :eusa_whistle:

Als je eenmaal de afgeleides hebt berekend en gelijkgesteld hebt aan 0, dan is het alleen nog een kwestie van eenvoudige algebraÔsche bewerkingen erop toepassen. Je hebt een stelsel van 2 (of 3) vergelijkingen, en wilt hieruit x en y oplossen; dit kan altijd. Bedenk ook dat er veel manieren zijn om het op te lossen, je hoeft niet per se de volgorde van het antwoordenmodel aan te houden.

Hardstikke bedankt. Probleem opgelost.

Graag gedaan!
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#7

RobinvanKaathoven

    RobinvanKaathoven


  • 0 - 25 berichten
  • 7 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 02 november 2009 - 12:27

Voor eventuele mensen met dezelfde problemen, ik heb een lijstje gevonden waarin allerlei van deze regels staan. Natuurlijk is alles wel bekend, maar ik merk dat hier mijn zwak ligt, dus houdt het lijstje bij de hand. Voor geinteresseerden:

LaTeX

Wat wist je niet? Vast wel dat "Als a+b=0 en c+d=0, dan a=0-b=-b"?


Dat inderdaad nog net wel :eusa_whistle:

Dus a*b=(-c)*(-d).


Maar die laatste stap niet, dus die neem ik mee. Het is niet iets dat ik wist, maar vast iets dat ik wel kan gebruiken. Het komt op mij nog steeds niet intuitief over, maar dat is wiskunde bij nooit geweest, als het uberhaupt over komt. De 'Dus' uit jouw verhaal doet bij mij geen belletje rinkelen en dat ziet er dus bij mij redelijk uit als magie.

Veranderd door RobinvanKaathoven, 02 november 2009 - 12:29


#8

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 november 2009 - 12:42

Doorgaans wordt van mensen die met optimalisatie bezig zijn verwacht dat ze dit soort dingen kunnen dromen, maar het is (voor jou) dus des te nuttiger dit nog eens goed te bestuderen. Ik moet echter wel een deel (alles met ongelijkheden) corrigeren:

Bericht bekijken
Maar die laatste stap niet, dus die neem ik mee. Het is niet iets dat ik wist, maar vast iets dat ik wel kan gebruiken. Het komt op mij nog steeds niet intuitief over, maar dat is wiskunde bij nooit geweest, als het uberhaupt over komt. De 'Dus' uit jouw verhaal doet bij mij geen belletje rinkelen en dat ziet er dus bij mij redelijk uit als magie.[/quote]
Volgens mij zoek je het te ver :eusa_whistle:
Je bent het dus eens met "als a+b=0 en c+d=0, dan a=-b en c=-d."
Maar uit a=-b en c=-d volgt toch direct dat a*c=(-b)*(-d)? Immers, ik vermenigvuldig de getallen a en c met elkaar. Maar a is gelijk aan -b en c is gelijk aan -d. Dus dit is hetzelfde als -b en -d met elkaar vermenigvuldigen.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#9

RobinvanKaathoven

    RobinvanKaathoven


  • 0 - 25 berichten
  • 7 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 02 november 2009 - 19:43

Akkoord, dus die 5 kloppen gewoon niet. Ik wilde daar in principe niets mee zeggen. Het was een lijstje dat ik op een site vond (een subadres van tue, vandaar dat ik het voor waar aannam, zal zodra ik weer achter de pc zit waarop ik het vond de link opzoeken) en aan mijn handige 'cheatsheat' heb toegevoegd (niet om te spieken, puur om naast me te houden bij het werken).

Nu ik er goed naar kijk, zie ik inderdaad dat het niet klopt. Ik heb ze uit mijn sheat gehaald! Bedankt!

[quote]
Maar uit a=-b en c=-d volgt toch direct dat a*c=(-b)*(-d)?
[\quote]

inderdaad! Nu zie ik het. Het zijn inderdaad dingen die ik eigenlijk zou moeten weten, maar doordat ik het nooit gebruikt heb, weet ik het op de een of andere manier niet.

Iets anders:


Ik heb LaTeX .
Ik weet dat dit hetzelfde is als LaTeX , maar snap niet waarom. Heeft dit te maken met rekenregels omtrent log en euler die ik niet zie? (of had ik hier een nieuw onderwerp voor aan moeten maken?)

gr

#10

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 november 2009 - 21:31

Akkoord, dus die 5 kloppen gewoon niet. Ik wilde daar in principe niets mee zeggen. Het was een lijstje dat ik op een site vond (een subadres van tue, vandaar dat ik het voor waar aannam, zal zodra ik weer achter de pc zit waarop ik het vond de link opzoeken)

Ik ben benieuwd :eusa_whistle:

Iets anders:
Ik heb LaTeX

.
Ik weet dat dit hetzelfde is als LaTeX , maar snap niet waarom. Heeft dit te maken met rekenregels omtrent log en euler die ik niet zie? (of had ik hier een nieuw onderwerp voor aan moeten maken?)

De relevante regels zijn
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX .
Probeer eens of je met deze regels kunt aantonen dat de twee uitdrukkingen gelijk zijn.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#11

RobinvanKaathoven

    RobinvanKaathoven


  • 0 - 25 berichten
  • 7 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 04 november 2009 - 10:51

LaTeX

LaTeX
dus
LaTeX want LaTeX
dan
LaTeX
dus
LaTeX want LaTeX

Klopt toch?

Wederom dank Phys :eusa_whistle:

#12

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 november 2009 - 11:49

Klopt helemaal! :eusa_whistle:
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures