Ik ben bezig met functies van 2 variabelen met bepaalde randvoorwaarden. De bedoeling is om een maximum, een minimum of de kritiek punten te vinden. Dit doe ik dan met behulp van de LaGrange-methode.
De opdracht luidt als volgt:
[opdracht]
Zij
\(K = \{(x, y) \epsilon R^{2} | x^{4} + y^{6} = 1\} \)
Zij \(f\)
de functie op \(K\)
gegeven door \(f(x, y) = 6x5 + y9\)
.Deze functie heeft een maximum en een minimum. Bereken dat maximum.
Vervolgens de oplossing:
De methode van LaGrange multiplicatoren zegt dat we de afgeleiden van de functie:
\( L(x, \lambda) := f(x) + \lambda g(x) \)
gelijk aan 0 moeten stellen. \( L(x, y, \lambda) := 6x^{5} + y^{9} + \lambda (x^{4} + y^{6} -1) \)
Ik bepaal de partiëel afgeleiden:\(\frac{\delta L}{\delta x} = 30x^{4} + 4\lambda x^{3} = 0 \)
\(\frac{\delta L}{\delta y} = 9y^{8} + 6\lambda y^{5} = 0 \)
\(\frac{\delta L}{\delta \lambda} = x^{4} + y^{6} -1 \)
En nu komt het gedeelte waar ik vast zit. Ik heb de oplossing gekregen, maar krijg het niet voor elkaar om deze te reproduceren. Men gaat als volgt verder:(het gaat vooral om de overgang naar de vergelijkingen hieronder. 30*6 = 180, 4*9=36 en 4*6 = 24, en er wordt ergens gedeeld door lambda. Maar met welke stappen, rekenregels of trucs gebeurt dit?)
Daaruit volgt
\(180x^4y^5 = -24\lambda x^3y^5 = 36x^3y^8, [i](?)[/i] dus 5x^4y^5 = x^3y^8\)
.Er zijn dus twee mogelijkheden:
Als
\(x = 0\)
dan ligt \((x, y)\)
op K als \(y^6 = 1\)
dus \(y = +1\)
of \(y = -1.\)
De functie heeft dan de waarde nul.Als
\(x \neq 0\)
dan is \(5x = y^3\)
, dus ligt (x, y) op K als \(x^4 + 25x^2 = 1\)
.Dan is
\(x^2 = -12.5 + \sqrt{157.25} = 0.0399362...\)
dus \(x = \pm \sqrt{-12.5 + 157.25} = 0.19984...\)
en \(y = (5x)^{\frac{1}{3}} = \pm 0.99734....\)
De functiewaarde is dan 0.99952...[/opdracht]
Wat me dus eigenlijk niet lukt is het gelijkstellen van de afgeleides aan 0.
Ik heb hier nog meer voorbeelden van waar ik ook op hetzelfde punt vast kom te zitten.
Bv. de volgende partiëel afgeleiden:
\( y + \lambda (3x^2 - 15) = 0 \)
\( x + \lambda(-2y) = 0 \)
(En hier ben ik het vervolgens weer kwijt) Daaruit volgt
\(-2y^2 = 2\lambda y(3x^2 - 15) = 3x^3 - 15x\)
.of deze:
\(2x + \lambda (4x^3 - 4x + 4xy^2) = 0\)
\(2y + \lambda (4x^2y + 4y + 4y^3) = 0\)
Daaruit volgt\(2x(4x^2y + 4y + 4y^3) = -\lambda (4x^3 - 4x + 4xy^2)(4x^2y + 4y + 4y^3) \)
\( = (4x^3 - 4x + 4xy^2)2y \)
ofwel\(8x^3y + 8xy + 8xy^3 = 8x^3y - 8xy + 8xy^3\)
ofwel \(16xy = 0\)
, dus \(x = 0\)
of \(y = 0\)
.Voor
\(x = 0\)
is \( y = \pm \sqrt{2}\)
, en de afstand tot de oorsprong is 2.Voor
\(y = 0\)
is \( x = \pm \sqrt{3}\)
, en de afstand tot de oorsprong is 3.Wat mis ik hier nu precies? Het lijkt op iets heel eenvoudigs. Hartelijk dank voor het lezen van mijn bericht. Hopelijk kan iemand me verder helpen.
