Springen naar inhoud

[wiskunde] bewijzen ivm goniometrie


  • Log in om te kunnen reageren

#1

michael_

    michael_


  • 0 - 25 berichten
  • 10 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 03 november 2009 - 18:54

Hallo,

Ik probeer al enkele dagen om de volgende twee oefeningen op te lossen,
maar ik geraak er niet uit (het hoofdstuk gaat over goniometrie in niet-rechthoekige
driehoeken, we kunnen gebruikmaken van de sinus- en de cosinusregel).

De opgave is: bewijs dat in elke driehoek ABC geldt:
a )
--------------------------------------------------------------------------------
sin˛ α = sin˛ β + sin˛ γ - 2*sinβ*sinγ*cosα
--------------------------------------------------------------------------------


b )
--------------------------------------------------------------------------------
( b+c )cosα + ( c+a )cosβ + ( a+b )cosγ = a+b+c
--------------------------------------------------------------------------------



Alvast bedankt voor de hulp

Michael

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 november 2009 - 18:57

Allereerst: wat heb je zelf al geprobeerd en waar loop je vast?

Alvast een tip: in een driehoek is de som van de hoekgrootten altijd ... Je kunt de derde hoek dus uitdrukken m.b.v. de eerste twee.

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#3

michael_

    michael_


  • 0 - 25 berichten
  • 10 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 03 november 2009 - 19:08

Ik zal het eerst over a hebben.
Volgens de sleutel zou ik sinγ moeten vervangen met de sinusregel
(dus door (c*sinβ)/b of door (c*sinα)/a) en cosα met de sinusregel
(dus door (a˛ - b˛ - c˛)/(-2bc) ),
en dan heb ik geprobeerd hieruit een gelijkheid te bekomen
(merkwaardig product, sinα=sin(180°-α), ...) maar het lukt me maar niet.

Bij b zou ik in het linkerlid drie keer de cosregel moeten toepassen
(dus cosα, cosβ en cosγ vervangen) en dus zou de
eerste term gelijk moeten zijn aan a, de tweede aan b, de derde aan c,
maar ook hier krijg ik maar geen gelijkheid: als ik de distributiviteit toepas
loop ik volledig vast, en ik zie geen andere mogelijkheden?

#4

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 november 2009 - 19:45

Ik zal het eerst over a hebben.

[...]

Goed, je hebt dus het volgende:

LaTeX

Haakjes uitwerken, vereenvoudigen en noemers laten wegvallen. Lukt het daarna?

PS: Ik heb bij de substitutie van LaTeX voor de mogelijkheid met LaTeX gekozen. Zie je waarom?

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#5

michael_

    michael_


  • 0 - 25 berichten
  • 10 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 03 november 2009 - 20:07

Is de (voor)laatste stap een vierkantswortel? Dan bekom ik de sinusregel en zou het dus kloppen.

#6

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 november 2009 - 20:13

Ik heb niet met vierkantswortels gewerkt. Laat eens zien hoe je bent verdergegaan.

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#7

michael_

    michael_


  • 0 - 25 berichten
  • 10 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 03 november 2009 - 20:33

Misschien maak ik een fout, maar eerst vermenigvuldig ik in de derde term
sinB met de eerste breuk van de term en zonder ik daaruit c/b af (dus c/b * sin˛B)
dan zonder ik uit de tweede term ook c˛/b˛ af, zodat in elke term sin˛B staat,
dan zonder ik sin˛B uit de drie termen af, en los ik binnen de haken verder op.
Dan kom ik op sin˛A = (1 + c˛/b˛ + a˛/b˛ -1 - c˛/b˛) sin˛B
dus sin˛A = a˛/b˛ sin˛B
--> a˛/sin˛A = b˛/sin˛B
--> vierkantswortel: a/sinA = b/sinB

#8

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 november 2009 - 20:57

Correct, al kun je om het jezelf gemakkelijker te maken de factor c schrappen en de breuken wegwerken.

Nu de tweede. Daar heb je het volgende:

LaTeX

En dan?

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#9

michael_

    michael_


  • 0 - 25 berichten
  • 10 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 03 november 2009 - 21:14

Toen ik ze opnieuw maakte om te laten zien hoe ik zou verder doen, klopte het opeens:
normaal zocht ik tegengestelde termen per breuk, maar nu heb ik al de breuken uitgewerkt,
en zo kom ik wel aan tegengestelde termen en uiteindelijk aan a + b + c.

Bedankt voor de hulp!

Michael.

#10

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 november 2009 - 21:23

Mooi zo, graag gedaan!

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#11

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 04 november 2009 - 16:42

Hallo,

Ik probeer al enkele dagen om de volgende twee oefeningen op te lossen,
maar ik geraak er niet uit (het hoofdstuk gaat over goniometrie in niet-rechthoekige
driehoeken, we kunnen gebruikmaken van de sinus- en de cosinusregel).

De opgave is: bewijs dat in elke driehoek ABC geldt:
a )
--------------------------------------------------------------------------------
sin˛ α = sin˛ β + sin˛ γ - 2*sinβ*sinγ*cosα
--------------------------------------------------------------------------------



Ik zal het eerst over a hebben.
Volgens de sleutel zou ik sinγ moeten vervangen met de sinusregel
(dus door (c*sinβ)/b of door (c*sinα)/a) en cosα met de sinusregel
(dus door (a˛ - b˛ - c˛)/(-2bc) ),
en dan heb ik geprobeerd hieruit een gelijkheid te bekomen
(merkwaardig product, sinα=sin(180°-α), ...) maar het lukt me maar niet.

Je kan hier de sin-regel goed gebruiken:
LaTeX
Merk op dat k>0.
Schrijf sin(alpha)=ka enz
Na invullen en delen door k˛ heb je de cos-regel.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures