[wiskunde] bewijzen ivm goniometrie
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 10
[wiskunde] bewijzen ivm goniometrie
Hallo,
Ik probeer al enkele dagen om de volgende twee oefeningen op te lossen,
maar ik geraak er niet uit (het hoofdstuk gaat over goniometrie in niet-rechthoekige
driehoeken, we kunnen gebruikmaken van de sinus- en de cosinusregel).
De opgave is: bewijs dat in elke driehoek ABC geldt:
a )
--------------------------------------------------------------------------------
sin² α = sin² β + sin² γ - 2*sinβ*sinγ*cosα
--------------------------------------------------------------------------------
b )
--------------------------------------------------------------------------------
( b+c )cosα + ( c+a )cosβ + ( a+b )cosγ = a+b+c
--------------------------------------------------------------------------------
Alvast bedankt voor de hulp
Michael
Ik probeer al enkele dagen om de volgende twee oefeningen op te lossen,
maar ik geraak er niet uit (het hoofdstuk gaat over goniometrie in niet-rechthoekige
driehoeken, we kunnen gebruikmaken van de sinus- en de cosinusregel).
De opgave is: bewijs dat in elke driehoek ABC geldt:
a )
--------------------------------------------------------------------------------
sin² α = sin² β + sin² γ - 2*sinβ*sinγ*cosα
--------------------------------------------------------------------------------
b )
--------------------------------------------------------------------------------
( b+c )cosα + ( c+a )cosβ + ( a+b )cosγ = a+b+c
--------------------------------------------------------------------------------
Alvast bedankt voor de hulp
Michael
-
- Berichten: 8.614
Re: [wiskunde] bewijzen ivm goniometrie
Allereerst: wat heb je zelf al geprobeerd en waar loop je vast?
Alvast een tip: in een driehoek is de som van de hoekgrootten altijd ... Je kunt de derde hoek dus uitdrukken m.b.v. de eerste twee.
Alvast een tip: in een driehoek is de som van de hoekgrootten altijd ... Je kunt de derde hoek dus uitdrukken m.b.v. de eerste twee.
Geloof niet alles wat je leest.
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
-
- Berichten: 10
Re: [wiskunde] bewijzen ivm goniometrie
Ik zal het eerst over a hebben.
Volgens de sleutel zou ik sinγ moeten vervangen met de sinusregel
(dus door (c*sinβ)/b of door (c*sinα)/a) en cosα met de sinusregel
(dus door (a² - b² - c²)/(-2bc) ),
en dan heb ik geprobeerd hieruit een gelijkheid te bekomen
(merkwaardig product, sinα=sin(180°-α), ...) maar het lukt me maar niet.
Bij b zou ik in het linkerlid drie keer de cosregel moeten toepassen
(dus cosα, cosβ en cosγ vervangen) en dus zou de
eerste term gelijk moeten zijn aan a, de tweede aan b, de derde aan c,
maar ook hier krijg ik maar geen gelijkheid: als ik de distributiviteit toepas
loop ik volledig vast, en ik zie geen andere mogelijkheden?
Volgens de sleutel zou ik sinγ moeten vervangen met de sinusregel
(dus door (c*sinβ)/b of door (c*sinα)/a) en cosα met de sinusregel
(dus door (a² - b² - c²)/(-2bc) ),
en dan heb ik geprobeerd hieruit een gelijkheid te bekomen
(merkwaardig product, sinα=sin(180°-α), ...) maar het lukt me maar niet.
Bij b zou ik in het linkerlid drie keer de cosregel moeten toepassen
(dus cosα, cosβ en cosγ vervangen) en dus zou de
eerste term gelijk moeten zijn aan a, de tweede aan b, de derde aan c,
maar ook hier krijg ik maar geen gelijkheid: als ik de distributiviteit toepas
loop ik volledig vast, en ik zie geen andere mogelijkheden?
-
- Berichten: 8.614
Re: [wiskunde] bewijzen ivm goniometrie
Goed, je hebt dus het volgende:michael_ schreef:Ik zal het eerst over a hebben.
[...]
\(\begin{array}{rcl}\sin^2(\alpha) & = & \sin^2(\beta) + \sin^2(\gamma) - 2\sin(\beta)\sin(\gamma)\cos(\alpha) \\&& \\& = & \sin^2(\beta) + \left(\dfrac{c\sin(\beta)}{b}\right)^2 - 2\sin(\beta)\left(\dfrac{c\sin(\beta)}{b}\right)\left(\dfrac{a^2-b^2-c^2}{-2bc}\right)\end{array}\)
Haakjes uitwerken, vereenvoudigen en noemers laten wegvallen. Lukt het daarna?PS: Ik heb bij de substitutie van
\(\sin(\gamma)\)
voor de mogelijkheid met \(\sin(\beta)\)
gekozen. Zie je waarom?Geloof niet alles wat je leest.
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
-
- Berichten: 10
Re: [wiskunde] bewijzen ivm goniometrie
Is de (voor)laatste stap een vierkantswortel? Dan bekom ik de sinusregel en zou het dus kloppen.
-
- Berichten: 8.614
Re: [wiskunde] bewijzen ivm goniometrie
Ik heb niet met vierkantswortels gewerkt. Laat eens zien hoe je bent verdergegaan.
Geloof niet alles wat je leest.
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
-
- Berichten: 10
Re: [wiskunde] bewijzen ivm goniometrie
Misschien maak ik een fout, maar eerst vermenigvuldig ik in de derde term
sinB met de eerste breuk van de term en zonder ik daaruit c/b af (dus c/b * sin²B)
dan zonder ik uit de tweede term ook c²/b² af, zodat in elke term sin²B staat,
dan zonder ik sin²B uit de drie termen af, en los ik binnen de haken verder op.
Dan kom ik op sin²A = (1 + c²/b² + a²/b² -1 - c²/b²) sin²B
dus sin²A = a²/b² sin²B
--> a²/sin²A = b²/sin²B
--> vierkantswortel: a/sinA = b/sinB
sinB met de eerste breuk van de term en zonder ik daaruit c/b af (dus c/b * sin²B)
dan zonder ik uit de tweede term ook c²/b² af, zodat in elke term sin²B staat,
dan zonder ik sin²B uit de drie termen af, en los ik binnen de haken verder op.
Dan kom ik op sin²A = (1 + c²/b² + a²/b² -1 - c²/b²) sin²B
dus sin²A = a²/b² sin²B
--> a²/sin²A = b²/sin²B
--> vierkantswortel: a/sinA = b/sinB
-
- Berichten: 8.614
Re: [wiskunde] bewijzen ivm goniometrie
Correct, al kun je om het jezelf gemakkelijker te maken de factor c schrappen en de breuken wegwerken.
Nu de tweede. Daar heb je het volgende:
Nu de tweede. Daar heb je het volgende:
\(\begin{array}{rcl}a+b+c & = & (b+c)\cos(\alpha) + (c+a)\cos(\beta) + (a+b)\cos(\gamma) \\&& \\& = & \dfrac{(b+c)(a^2-b^2-c^2)}{-2bc}-\dfrac{(c+a)(b^2-a^2-c^2)}{2ac}-\dfrac{(a+b)(c^2-b^2-a^2)}{2ab}\end{array}\)
En dan?Geloof niet alles wat je leest.
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
-
- Berichten: 10
Re: [wiskunde] bewijzen ivm goniometrie
Toen ik ze opnieuw maakte om te laten zien hoe ik zou verder doen, klopte het opeens:
normaal zocht ik tegengestelde termen per breuk, maar nu heb ik al de breuken uitgewerkt,
en zo kom ik wel aan tegengestelde termen en uiteindelijk aan a + b + c.
Bedankt voor de hulp!
Michael.
normaal zocht ik tegengestelde termen per breuk, maar nu heb ik al de breuken uitgewerkt,
en zo kom ik wel aan tegengestelde termen en uiteindelijk aan a + b + c.
Bedankt voor de hulp!
Michael.
-
- Berichten: 8.614
Re: [wiskunde] bewijzen ivm goniometrie
Mooi zo, graag gedaan!
Geloof niet alles wat je leest.
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: [wiskunde] bewijzen ivm goniometrie
michael_ schreef:Hallo,
Ik probeer al enkele dagen om de volgende twee oefeningen op te lossen,
maar ik geraak er niet uit (het hoofdstuk gaat over goniometrie in niet-rechthoekige
driehoeken, we kunnen gebruikmaken van de sinus- en de cosinusregel).
De opgave is: bewijs dat in elke driehoek ABC geldt:
a )
--------------------------------------------------------------------------------
sin² α = sin² β + sin² γ - 2*sinβ*sinγ*cosα
--------------------------------------------------------------------------------
Je kan hier de sin-regel goed gebruiken:michael_ schreef:Ik zal het eerst over a hebben.
Volgens de sleutel zou ik sinγ moeten vervangen met de sinusregel
(dus door (c*sinβ)/b of door (c*sinα)/a) en cosα met de sinusregel
(dus door (a² - b² - c²)/(-2bc) ),
en dan heb ik geprobeerd hieruit een gelijkheid te bekomen
(merkwaardig product, sinα=sin(180°-α), ...) maar het lukt me maar niet.
\(\frac{\sin(\alpha)}{a}=\frac{\sin(\beta)}{b}=\frac{\sin(\gamma)}{c}=k\)
Merk op dat k>0.Schrijf sin(alpha)=ka enz
Na invullen en delen door k² heb je de cos-regel.