[wiskunde] bewijzen ivm goniometrie

michael_

Hallo,

Ik probeer al enkele dagen om de volgende twee oefeningen op te lossen,

maar ik geraak er niet uit (het hoofdstuk gaat over goniometrie in niet-rechthoekige

driehoeken, we kunnen gebruikmaken van de sinus- en de cosinusregel).

De opgave is: bewijs dat in elke driehoek ABC geldt:

a )

--------------------------------------------------------------------------------

sin² α = sin² β + sin² γ - 2*sinβ*sinγ*cosα

--------------------------------------------------------------------------------

b )

--------------------------------------------------------------------------------

( b+c )cosα + ( c+a )cosβ + ( a+b )cosγ = a+b+c

--------------------------------------------------------------------------------

Alvast bedankt voor de hulp

Michael

Klintersaas

Allereerst: wat heb je zelf al geprobeerd en waar loop je vast?

Alvast een tip: in een driehoek is de som van de hoekgrootten altijd ... Je kunt de derde hoek dus uitdrukken m.b.v. de eerste twee.

michael_

Ik zal het eerst over a hebben.

Volgens de sleutel zou ik sinγ moeten vervangen met de sinusregel

(dus door (c*sinβ)/b of door (c*sinα)/a) en cosα met de sinusregel

(dus door (a² - b² - c²)/(-2bc) ),

en dan heb ik geprobeerd hieruit een gelijkheid te bekomen

(merkwaardig product, sinα=sin(180°-α), ...) maar het lukt me maar niet.

Bij b zou ik in het linkerlid drie keer de cosregel moeten toepassen

(dus cosα, cosβ en cosγ vervangen) en dus zou de

eerste term gelijk moeten zijn aan a, de tweede aan b, de derde aan c,

maar ook hier krijg ik maar geen gelijkheid: als ik de distributiviteit toepas

loop ik volledig vast, en ik zie geen andere mogelijkheden?

Klintersaas

michael_ schreef:Ik zal het eerst over a hebben.

[...]

Goed, je hebt dus het volgende:

\(\begin{array}{rcl}\sin^2(\alpha) & = & \sin^2(\beta) + \sin^2(\gamma) - 2\sin(\beta)\sin(\gamma)\cos(\alpha) \\&& \\& = & \sin^2(\beta) + \left(\dfrac{c\sin(\beta)}{b}\right)^2 - 2\sin(\beta)\left(\dfrac{c\sin(\beta)}{b}\right)\left(\dfrac{a^2-b^2-c^2}{-2bc}\right)\end{array}\)

Haakjes uitwerken, vereenvoudigen en noemers laten wegvallen. Lukt het daarna?

PS: Ik heb bij de substitutie van

\(\sin(\gamma)\)

voor de mogelijkheid met

\(\sin(\beta)\)

gekozen. Zie je waarom?

michael_

Is de (voor)laatste stap een vierkantswortel? Dan bekom ik de sinusregel en zou het dus kloppen.

Klintersaas

Ik heb niet met vierkantswortels gewerkt. Laat eens zien hoe je bent verdergegaan.

michael_

Misschien maak ik een fout, maar eerst vermenigvuldig ik in de derde term

sinB met de eerste breuk van de term en zonder ik daaruit c/b af (dus c/b * sin²B)

dan zonder ik uit de tweede term ook c²/b² af, zodat in elke term sin²B staat,

dan zonder ik sin²B uit de drie termen af, en los ik binnen de haken verder op.

Dan kom ik op sin²A = (1 + c²/b² + a²/b² -1 - c²/b²) sin²B

dus sin²A = a²/b² sin²B

--> a²/sin²A = b²/sin²B

--> vierkantswortel: a/sinA = b/sinB

Klintersaas

Correct, al kun je om het jezelf gemakkelijker te maken de factor c schrappen en de breuken wegwerken.

Nu de tweede. Daar heb je het volgende:

\(\begin{array}{rcl}a+b+c & = & (b+c)\cos(\alpha) + (c+a)\cos(\beta) + (a+b)\cos(\gamma) \\&& \\& = & \dfrac{(b+c)(a^2-b^2-c^2)}{-2bc}-\dfrac{(c+a)(b^2-a^2-c^2)}{2ac}-\dfrac{(a+b)(c^2-b^2-a^2)}{2ab}\end{array}\)

En dan?

michael_

Toen ik ze opnieuw maakte om te laten zien hoe ik zou verder doen, klopte het opeens:

normaal zocht ik tegengestelde termen per breuk, maar nu heb ik al de breuken uitgewerkt,

en zo kom ik wel aan tegengestelde termen en uiteindelijk aan a + b + c.

Bedankt voor de hulp!

Michael.

Klintersaas

Mooi zo, graag gedaan!

Safe

michael_ schreef:Hallo,

Ik probeer al enkele dagen om de volgende twee oefeningen op te lossen,

maar ik geraak er niet uit (het hoofdstuk gaat over goniometrie in niet-rechthoekige

driehoeken, we kunnen gebruikmaken van de sinus- en de cosinusregel).

De opgave is: bewijs dat in elke driehoek ABC geldt:

a )

--------------------------------------------------------------------------------

sin² α = sin² β + sin² γ - 2*sinβ*sinγ*cosα

--------------------------------------------------------------------------------

michael_ schreef:Ik zal het eerst over a hebben.

Volgens de sleutel zou ik sinγ moeten vervangen met de sinusregel

(dus door (c*sinβ)/b of door (c*sinα)/a) en cosα met de sinusregel

(dus door (a² - b² - c²)/(-2bc) ),

en dan heb ik geprobeerd hieruit een gelijkheid te bekomen

(merkwaardig product, sinα=sin(180°-α), ...) maar het lukt me maar niet.

Je kan hier de sin-regel goed gebruiken:

\(\frac{\sin(\alpha)}{a}=\frac{\sin(\beta)}{b}=\frac{\sin(\gamma)}{c}=k\)

Merk op dat k>0.

Schrijf sin(alpha)=ka enz

Na invullen en delen door k² heb je de cos-regel.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] bewijzen ivm goniometrie

[wiskunde] bewijzen ivm goniometrie

Re: [wiskunde] bewijzen ivm goniometrie

Re: [wiskunde] bewijzen ivm goniometrie

Re: [wiskunde] bewijzen ivm goniometrie

Re: [wiskunde] bewijzen ivm goniometrie

Re: [wiskunde] bewijzen ivm goniometrie

Re: [wiskunde] bewijzen ivm goniometrie

Re: [wiskunde] bewijzen ivm goniometrie

Re: [wiskunde] bewijzen ivm goniometrie

Re: [wiskunde] bewijzen ivm goniometrie

Re: [wiskunde] bewijzen ivm goniometrie