Springen naar inhoud

[wiskunde] matrices en vectorruimten


  • Log in om te kunnen reageren

#1

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 03 november 2009 - 22:57

Er geldt:
1) Mm,nLaTeX is een vectorruimte.
en:
2) [.]F,E: Hom LaTeX (V,W) :eusa_whistle: Mm,nLaTeX is een isomorfisme.

1) Om de vectorruimte te bewijzen: moet je dan alle eigenschappen van een vectorruimte aantonen:
associativiteit, commutativiteit, neutr. el. bij optellen, tegengesteld el. bij optellen
gemengde ass. bij scalaire vermenigvuldiging, distributiviteit, neutraal el. bij scalaire vermenigvuldiging?
Of bestaat er een criterium waardoor je dit kan herleiden tot enkele eigenschappen (zoals bij een criterium voor een deelruimte)?

2)Als ik het goed begrijp, moet ik dus aantonen dat de afbeelding die een functie afbeeldt op zijn matrix een isomorfisme is?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 november 2009 - 23:06

Er geldt:
1) Mm,nLaTeX

is een vectorruimte.
en:
2) [.]F,E: Hom LaTeX (V,W) :eusa_whistle: Mm,nLaTeX is een isomorfisme.

Ik neem aan dat Mm,nLaTeX de ruimte der mxn-matrices over het lichaam K is, en dat [.]F,E de functie is die een lineaire afbeelding afbeeldt op zijn matrix ten opzichte van de (gegeven) bases F en E.

1) Om de vectorruimte te bewijzen: moet je dan alle eigenschappen van een vectorruimte aantonen:
associativiteit, commutativiteit, neutr. el. bij optellen, tegengesteld el. bij optellen
gemengde ass. bij scalaire vermenigvuldiging, distributiviteit, neutraal el. bij scalaire vermenigvuldiging?
Of bestaat er een criterium waardoor je dit kan herleiden tot enkele eigenschappen (zoals bij een criterium voor een deelruimte)?

In principe moet je inderdaad al die eigenschappen aantonen. Echter, bijna alles is evident, want je weet vanalles over matrices: hoe je ze optelt, hoe je ze vermenigvuldigt met een scalar, etc.

2)Als ik het goed begrijp, moet ik dus aantonen dat de afbeelding die een functie afbeeldt op zijn matrix een isomorfisme is?

Jazeker. Je moet dus aantonen dat het een bijectieve lineaire afbeelding is.

Ik zou zeggen, doe een poging, dan helpen wij je wel op weg.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#3

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 03 november 2009 - 23:22

Met 1) red ik het nu wel.

Nu nog 2):

=> de afbeelding is een homomorfisme:
Dit klopt, en kunnen we verklaren door de manier waarop de scalaire vermenigvuldiging van matrices is gedefinieerd.

=> de afbeelding is bijectief
Dit komt door de manier waarop de matrix A is gedefinieerd: in de i'de kolom staan de co÷rdinaten van het beeld van de i'de basisvector ten opzichte van de basis van de aankomstruimte. Aangezien co÷rdinaten uniek zijn, omdat een vector steeds op ÚÚn unieke manier kan geschreven worden tov de co÷rdinaten van zijn basis, is de bijectiviteit bewezen.

Is dit in orde?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#4

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 november 2009 - 00:20

=> de afbeelding is een homomorfisme:
Dit klopt, en kunnen we verklaren door de manier waarop de scalaire vermenigvuldiging van matrices is gedefinieerd.

Dit verklaart dat [c.f]F,E=c.[f]F,E voor scalairen c. Vergeet additiviteit niet:
[f+g]F,E=[f]F,E+[g]F,E. Dit berust (uiteraard) op de manier waarop optelling van matrices is gedefinieerd.

=> de afbeelding is bijectief
Dit komt door de manier waarop de matrix A is gedefinieerd: in de i'de kolom staan de co÷rdinaten van het beeld van de i'de basisvector ten opzichte van de basis van de aankomstruimte. Aangezien co÷rdinaten uniek zijn, omdat een vector steeds op ÚÚn unieke manier kan geschreven worden tov de co÷rdinaten van zijn basis, is de bijectiviteit bewezen.
Is dit in orde?

Ja hoor, dit is de verklaring in woorden. Ik weet niet in hoeverre je een formeel bewijs moet geven, maar hiermee geef je aan dat je het begrijpt!
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures