Springen naar inhoud

[wiskunde] isomorfisme en dimensie


  • Log in om te kunnen reageren

#1

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 04 november 2009 - 21:49

Het bestaan van een isomorfisme tussen twee verzamelingen impliceert dat ze dezelfde dimensie hebben.
Waarom?

Een isomorfisme wijst op twee eigenschappen van de afbeelding: bijectief en lineair.

Maar daar geraak ik niet onmiddellijk mee verder. Ik heb het gevoel dat ik iets eenvoudigs, maar essentieel over het hoofd zie...

Kan iemand me een tip geven?

Bedankt!
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 november 2009 - 21:58

Er zijn wellicht verschillende manieren, bijvoorbeeld:
- als f injectief is, is het beeld van een onafhankelijk stel ook onafhankelijk
- als f surjectief is, is het beeld van een voortbrengend stel ook voortbrengend
- gecombineerd: als f bijectief is, is het beeld van een basis, weer een basis
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 04 november 2009 - 22:04

- gecombineerd: als f bijectief is, is het beeld van een basis, weer een basis


Waarom geeft dit aanleiding tot dezelfde dimensie?
Ik weet wel dat een basis steeds evenveel elementen heeft, maar in het geval hierboven gaat het toch om twee verschillende basissen: één in de vertrekruimte en één in de aankomstruimte?

Kan het dan niet gaan om een afbeelding van Rm naar Rn ?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 november 2009 - 22:09

Waarom geeft dit aanleiding tot dezelfde dimensie?

Omdat de dimensie bepaald wordt door het aantal basisvectoren en als een basis van V (f:V->W) wordt omgezet in een basis W, hebben ze noodzakelijk hetzelfde aantal elementen.

Kan het dan niet gaan om een afbeelding van Rm naar Rn ?

Niet als n en m verschillen, die vectorruimten zijn (in dat geval) dus niet isomorf.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 november 2009 - 23:02

Ik zou de dimensiestelling gebruiken (die je dan natuurlijk gezien moet hebben).

Stel V en W zijn isomorfe vectorruimten, met isomorfisme T:V->W. Injectief betekent ker(T)={0}, surjectief betekent im(T)=W. Dus dim(ker(T))=0 en dim(im(T)))=dim W. Uit de dimensiestelling dim(V)=dim(ker(T))+dim(im(T)) volgt direct dim(V)=dim(W).
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#6

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 05 november 2009 - 21:20

Zou het kunnen dat je de dimensiestelling niet mag gebruiken omdat die stelling nu net bewezen wordt (bij ons toch) door gebruik te maken van de gelijkheid van dimensie bij isomorfismen?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#7

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 november 2009 - 21:27

Er zijn drie belangrijke woorden in bovenstaande zin: bij ons toch. Ik heb geen idee hoe de opbouw/volgorde van jullie cursus is; dat kun je heel makkelijk nakijken door het bewijs van de dimensiestelling na te lezen. Er is in ieder geval niet slechts één manier om de stelling van dit topic te bewijzen, en iedere auteur maakt zijn eigen keuzes over de volgorde van stellingen, lemma's: de logische opbouw.

Als jij deze opgave krijgt zonder dat (of: voordat) je de dimensiestelling gezien hebt, is de kans groot dat je deze niet mag gebruiken.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures