Pagina 1 van 1
[wiskunde] eigenschap continu
Geplaatst: do 05 nov 2009, 22:15
door In physics I trust
http://homepages.vub.ac.be/~scaenepe/analyse1.pdf pagina 37, laatste regel:
Ik begrijp stelling 3.2.6 volledig, behalve dat ik niet zie hoe de stelling volgt uit de laatste regel.
Kan iemand deze
missing link verduidelijken?
Re: [wiskunde] eigenschap continu
Geplaatst: do 05 nov 2009, 22:26
door Phys
Uit
\(0<\|x-a\|<\delta\)
volgt
\(\|F(x)-b\|<\delta_1\)
. Schrijf (omdat je dit niet direct ziet)
\(y=F(x)\)
, oftewel we hebben
\(\|y-b\|<\delta_1\)
. Maar in de eerste regel staat dat dit impliceert
\(\|G(y)-G(b)\|<\epsilon\)
. Denk aan hoe we y hadden genoemd, en we komen op
\(\|G(F(x))-G(b)\|<\epsilon\)
hetgeen we wilden aantonen.
Na even nadenken zul je je voor het hoofd slaan dat je dit niet zag :eusa_whistle:
Re: [wiskunde] eigenschap continu
Geplaatst: do 05 nov 2009, 22:37
door In physics I trust
Misschien heb ik het slecht geformuleerd, maar dat begrijp ik nu net wel! Ik zie gewoon niet hoe dit equivalent is met het feit dat je de limiet en continue functie
\(\bar{G}\)
van plaats mag verwisselen...
Re: [wiskunde] eigenschap continu
Geplaatst: do 05 nov 2009, 22:46
door Phys
Ah, nu ik teruglees zie ik inderdaad dat je het bewijs op zichzelf zegt te begrijpen, alleen niet hoe de conlusie volgt (waarbij de conclusie dus de waarheid van de stelling is en niet de laaste regel).
To the point: je hebt aangetoond dat [onder de voorwaarden van de stelling] voor iedere
\(\epsilon>0\)
een
\(\delta>0\)
bestaat zodat als
\(0<\|x-a\|<\delta\)
dan
\(\|G(F(x))-G(b)\|<\epsilon\)
. Dit betekent
\(\lim_{x\to a}G(F(x))=G(b)\)
. Maar
\(b=\lim_{x\to a}F(x)\)
. Dus
\(\lim_{x\to a}G(F(x))=G(\lim_{x\to a}F(x))\)
. Dit was precies wat je wilde aantonen (je kunt limiet en functie verwisselen).
Hopelijk bedoelde je dit.
Re: [wiskunde] eigenschap continu
Geplaatst: do 05 nov 2009, 22:57
door In physics I trust
Dat bedoelde ik idd, bedankt!
Re: [wiskunde] eigenschap continu
Geplaatst: do 05 nov 2009, 23:06
door Phys
Mooi, you're welcome!
