[wiskunde] goniometrische bewijzen

mcfaker123

Hallo, ik heb een paar goniometrische bewijzen in mn boek staan, en eentje daarvan kan ik echt niet oplossen, opgave;

tan2a . cot²a = tan2a + 2cota

ik heb het als volgt gedaan(met behulp van de halveringsformules), ;

tan2a . cot²a= ... = ... = ... = (tan2a/2sin²a) + (sin2a/2sin²a) >> ik heb dus beide leden(tan2a . cot²a) gesplitst, zodat

we een "+" bekomen tussen de leden.

En ik heb daarna echt alles geprobeerd om tot tan2a + 2cota te komen, maar het lukt niet.

Misschien dat iemand "het geheim" kent?

Hartelijk Bedankt!

In physics I trust

substitutie met z=tan(a)

mcfaker123

substitutie met z=tan(a)

Kun(t) u/je me daar alsjeblieft eens de formule van geven?

mcfaker123

Kun je me daar alsjeblieft eens de formule van geven?

Klintersaas

Het gaat hier niet om een formule, maar om een substitutie. Weet je hoe je die moet gebruiken?

Mijn aanpak (geen idee of het de beste is) zou zijn:

Breng
\(\tan(2a)\)
uit het rechterlid naar het linkerlid en splits af;
Gebruik de halveringsformule voor de tangens, schrap een factor en breng de factor met de cotangens naar het rechterlid;
Pruts wat met de definitie van de cotangens en je bent er.

In physics I trust

tan(2a)=(2z)/z²

cot(a)=1/z

Klintersaas

tan(2a)=(2z)/z²

Mogelijk zie ik iets niet goed, maar

\(\tan(2a) = \frac{2\tan(a)}{1-\tan^2(a)} \neq \frac{2\tan(a)}{\tan^2(a)}\)

!

In physics I trust

correctie:

tan(2a)=(2z)/(1-z²)

cot(a)=1/z

mcfaker123

Je kunt toch niet zomaar tan(2a) uit het rechterlid naar het linkerlid brengen en dan afsplitsen, ik geef eens een voorbeeld;

tan(a).cos(a)+2 >> cos(a)+2 tan(a) (ik heb hier tan2a naar het rechterlid gebracht)

Zoiets mag/kan toch niet, of zie ik het verkeerd?

Klintersaas

Ik zie niet goed wat je bedoelt. Ik had het volgende in gedachten:

\(\tan(2a)\cot^2(a) = \tan(2a)+2\cot(a) \Leftrightarrow \tan(2a)\cot^2(a) - \tan(2a) = 2\cot(a) \Leftrightarrow \tan(2a)(\cot^2(a) - 1) = 2\cot(a) \)

En zo verder. Zie je wat ik heb gedaan?

mcfaker123

Het probleem is gewoon dat ik eigenlijk niet weet hoe je aan zon bewijs begint ook al ken ik alle formules perfect, je kan alles proberen, maar komt nooit tot het gewenste resultaat.

Klintersaas

Het probleem is gewoon dat ik eigenlijk niet weet hoe je aan zon bewijs begint ook al ken ik alle formules perfect, je kan alles proberen, maar komt nooit tot het gewenste resultaat.

Een manier die meestal werkt is één van beide leden a.d.h.v. verschillende formules omvormen tot je het andere lid bereikt. Met wat prutsen kom je er zo goed als altijd uit, al kan het lang duren en veel papier vragen. Om tot kortere bewijzen te komen is een beetje inzicht nodig. Ik ben hierboven ook maar gewoon begonnen en kwam redelijk snel uit waar ik moest zijn.

Weet je hoe je nu verder moet?

mcfaker123

Klintersaas schreef:Een manier die meestal werkt is één van beide leden a.d.h.v. verschillende formules omvormen tot je het andere lid bereikt. Met wat prutsen kom je er zo goed als altijd uit, al kan het lang duren en veel papier vragen. Om tot kortere bewijzen te komen is een beetje inzicht nodig. Ik ben hierboven ook maar gewoon begonnen en kwam redelijk snel uit waar ik moest zijn.

Weet je hoe je nu verder moet?

Mag ik je nog een iets vragen, hoe kom je aan de 2de stap??

Klintersaas

Tuurlijk, je mag zoveel vragen als je wilt. Heb je het over de volgende stap?

\(\tan(2a)\cot^2(a) - \tan(2a) = 2\cot(a) \Leftrightarrow \tan(2a)(\cot^2(a) - 1) = 2\cot(a) \)

In het linkerlid staat in beide termen een factor

\(\tan(2a)\)

. Die heb ik buiten haakjes gebracht. Om het wat aanschouwelijker te maken stellen we even

\(\tan(2a) = x\)

en

\(\cot^2(a) = y\)

. Wat er gebeurt is dan het volgende:

\(xy^2 - x = 2y \Leftrightarrow x(y^2-1) = 2y\)

Volg je dat?

mcfaker123

Klintersaas schreef:Tuurlijk, je mag zoveel vragen als je wilt. Heb je het over de volgende stap?

\(\tan(2a)\cot^2(a) - \tan(2a) = 2\cot(a) \Leftrightarrow \tan(2a)(\cot^2(a) - 1) = 2\cot(a) \)
In het linkerlid staat in beide termen een factor
\(\tan(2a)\)
. Die heb ik buiten haakjes gebracht. Om het wat aanschouwelijker te maken stellen we even
\(\tan(2a) = x\)
en
\(\cot^2(a) = y\)
. Wat er gebeurt is dan het volgende:

\(xy^2 - x = 2y \Leftrightarrow x(y^2-1) = 2y\)
Volg je dat?

Nu snap ik het, Bedankt voor de vele antwoorden! :eusa_whistle:

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] goniometrische bewijzen

[wiskunde] goniometrische bewijzen

Re: [wiskunde] goniometrische bewijzen

Re: [wiskunde] goniometrische bewijzen

Re: [wiskunde] goniometrische bewijzen

Re: [wiskunde] goniometrische bewijzen

Re: [wiskunde] goniometrische bewijzen

Re: [wiskunde] goniometrische bewijzen

Re: [wiskunde] goniometrische bewijzen

Re: [wiskunde] goniometrische bewijzen

Re: [wiskunde] goniometrische bewijzen

Re: [wiskunde] goniometrische bewijzen

Re: [wiskunde] goniometrische bewijzen

Re: [wiskunde] goniometrische bewijzen

Re: [wiskunde] goniometrische bewijzen

Re: [wiskunde] goniometrische bewijzen