Moderators: dirkwb , Xilvo
Berichten: 26
Zie de volgende rij... Deze rij geeft een benadering van
\(\sqrt{2}\)
\(x_n = max \{x|x \in \mathbb{Q}; 10^n x \in \mathbb{N}; x^2 \leq 2 \} \)
Het fijne van deze rij is dat dit een Cauchy-rij is maar zijn limiet is niet gedefinieerd in
\( \mathbb{Q}\)
!
Nu vroeg ik mij alleen af.. hoe 'vul' ik deze formule 'in'. Normaal is het bijv; f(x) = 2*x. Vrij triviaal..
Maar hier moet ik dus het maximum nemen van een x/x uit
\( \mathbb{Q}\)
.. en
\(10^n x\)
zit in
\( \mathbb{N}\)
.. en
\(x^2\)
moet kleiner zijn dan 2..
Dus hoe doe ik dat? Want mij lijkt ook dat deze rij n als variabele heeft en niet x.. dus wat te doen met die x?
\(x_n\)
is
\(\sqrt{2}\)
in n decimalen nauwkeurig.
Dus
\(x_1=1,4\)
en
\(x_2=1,41\)
enz.
Berichten: 7.556
Het fijne van deze rij is dat dit een Cauchy-rij is maar zijn limiet is niet gedefinieerd in
\( \mathbb{Q}\)
!
Uiteraard, want
\(\sqrt{2}\notin\qq\)
:eusa_whistle: Dit is het klassieke voorbeeld van Cauchy-rij in een metrische ruimte die niet convergeert, oftewel een metrische ruimte die niet volledig is (
\(\qq\)
); zijn vervollediging is precies
\(\rr\)
.
Voor de rest, zie PeterPan ](*,)
Never express yourself more clearly than you think.
Bericht
za 07 nov 2009, 17:22 07-11-'09, 17:22
TD
Berichten: 24.578
Verplaatst naar analyse.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
(
\(\qq\)
); zijn vervollediging is precies
\(\rr\)
.
Afhankelijk van de gekozen metriek. De afsluiting kan ook de p-adische getallen zijn
\(\qq_p\)
(bevat
\(\cc\)
(bij goed gekozen p) en nog veel meer!).
Dat mag wel eens gezegd worden. :eusa_whistle:
Berichten: 26
Bedankt voor 't reageren!
Maar ik vroeg mij nog steeds iets af, ben gewoon nieuwsgierig..
De notatie
\(A=\{x\in\mathbb{R}; x \leq 2 \}\)
begrijp ik, je verzameling(of rij) bevat de waarde x die alle reële getallen kunnen zijn, met als voorwaarde dat x kleiner is dan 2.. Maar hoe zie ik dat terug in die max{...}?
Berichten: 8.614
begrijp ik, je verzameling(of rij) bevat de waarde x die alle reële getallen kunnen zijn, met als voorwaarde dat x kleiner is dan 2..
Kleiner óf gelijk aan 2.
Geloof niet alles wat je leest.
Heb jij verstand van PHP?
Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
Berichten: 7.556
\(x_n = \max \{x \in \mathbb{Q}| 10^n x \in \mathbb{N}; x^2 \leq 2 \}\)
De verzameling
\(A_n=\{x \in \mathbb{Q}|\ 10^n x \in \mathbb{N}; x^2 \leq 2 \}\)
bestaat (voor vaste n) precies uit alle rationale getallen
\(x\)
met de eigenschap dat het kwadraat niet groter is dan 2 én dat
\(10^n x\)
een natuurijk getal is. Nu definieer je
\(x_n\)
als het grootste getal uit
\(A_n\)
, oftewel
\(x_n=\max A_n\)
.
Never express yourself more clearly than you think.
Berichten: 26
Phys schreef: \(x_n = \max \{x \in \mathbb{Q}| 10^n x \in \mathbb{N}; x^2 \leq 2 \}\)
De verzameling
\(A_n=\{x \in \mathbb{Q}|\ 10^n x \in \mathbb{N}; x^2 \leq 2 \}\)
bestaat (voor vaste n) precies uit alle rationale getallen
\(x\)
met de eigenschap dat het kwadraat niet groter is dan 2 én dat
\(10^n x\)
een natuurijk getal is. Nu definieer je
\(x_n\)
als het grootste getal uit
\(A_n\)
, oftewel
\(x_n=\max A_n\)
.
Top :eusa_whistle: Bedankt!
