Springen naar inhoud

[wiskunde] limiet bestaat niet


  • Log in om te kunnen reageren

#1

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 08 november 2009 - 12:35

Hoe toon je formeel aan dat de limiet van sin(1/x) niet bestaat voor x gaande naar 0?

Ik dacht een ε te kiezen en dan aan te tonen dat er geen δ bestaat waarvoor de definitie van limiet geldt:
ik draai de definitie om: i.p.v. er bestaat een δ zodat F(x)<δ , bewijs ik er bestaat een δ zodat F(x)>δ

Ik weet echter niet hoe deze ideeŽn formeel uit te werken ;-(

Kan iemand me daarbij helpen, a.u.b.?

Erg bedankt!
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 november 2009 - 12:43

Heb je de equivalentie definitie met rijen gezien? Dan kan je twee rijtjes maken die naar 0 convergeren, terwijl de functiewaarden verschillende limieten hebben.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

upsilon

    upsilon


  • >25 berichten
  • 93 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 november 2009 - 13:43

Ik dacht aan het volgende:

Stel de limiet in 0 (sin(1/x)) bestaat en is L.

Dan geldt voor alle e>0 dat er een d>0 bestaat zodat voor alle |x|<d geldt dat |f(x) - L|<e. Dan kies je bijvoorbeeld e =1/2 en bewijs je dat voor elke d>0 geldt dat er een |x|<d bestaat die niet in het epsilon gebied ligt.
BABBAGE

#4

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 08 november 2009 - 13:47

sin(x)= 1 als x = pi.gif/2 + 2k pi.gif
dus x = pi.gif/2 + 2k pi.gif

Analoog:

sin(1/x)= 1 als 1/x = pi.gif/2 + 2k pi.gif
dus 1/x=pi.gif/2 + 2k pi.gif en x = 1/(pi.gif/2 + 2k pi.gif)

Deze rij convergeert naar 0, terwijl de functiewaarden 1 blijven.

sin(1/x)= -1 als 1/x = 3 pi.gif/2 + 2k pi.gif
dus 1/x=3 pi.gif/2 + 2k pi.gif en x = 1/(3 pi.gif/2 + 2k pi.gif)

Deze rij convergeert naar 0 terwijl de functiewaarden -1 blijven. Hoe dicht we dus 0 ook naderen, de functiewaarden convergeren niet naar een bepaalde waarde. Kiezen we ε gelijk aan 1/2, dan bestaan er steeds F(x) die niet voldoen aan F(x)< ε

Klopt dit?
Dank u wel!
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 november 2009 - 13:54

Je hoeft epsilon-delta en de rijtjes niet te mengen. Ofwel heb je de equivalente definitie met rijen en dan volstaat het twee rijen te vinden die naar verschillende waarden convergeren; ofwel wil je het (zonder rijen) toch met de epsilon-deltadefinitie, zoals in de aanpak van upsilon geschetst.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#6

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 08 november 2009 - 14:07

Bedankt!

Dus gewoon de laatste regel weglaten of uitwerken zoals upsilon suggereerde?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 november 2009 - 14:11

Dat is een alternatief voor het werken met de rijtjes (dus gewoon vanuit de epsilon-delta definitie); als je het met die rijen doet (en die stelling gezien hebt), dan hoeft dat niet.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#8

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 21 december 2009 - 17:20

Hoe werk je dit uit voor samengestelde voorschriften, vb.

f(x)=0 als x rationaal is
f(x)=1 als x reŽel is

Kan u daar een hint voor geven?

Bedankt!
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#9

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 december 2009 - 18:14

Hoe werk je dit uit voor samengestelde voorschriften, vb.

f(x)=0 als x rationaal is
f(x)=1 als x reŽel is

Bedoel je hier niet eerder reŽel maar niet rationaal (irrationaal dus)? Zo ja, zoek eens naar de Dirichletfunctie.

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#10

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 21 december 2009 - 18:38

LaTeX \ LaTeX idd

Veranderd door In fysics I trust, 21 december 2009 - 18:39

"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 december 2009 - 19:42

Welke limiet wil je nu tonen?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#12

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 21 december 2009 - 21:42

Ik zou het nog eens met epsilon-delta willen aantonen. Om te bewijzen dat een limiet niet bestaat:

LaTeX met l de limiet (ik ga hier 1 nemen voor l).

Voor deze LaTeX neem ik bijvoorbeeld 1/2, voor x neem ik LaTeX

Nu neem ik N voldoende groot, en zie ik dat ik LaTeX willekeurig klein kan maken, terwijl de functiewaarde 1 blijft omdat LaTeX irrationaal is. Is dat correct? Ik heb dus een e gevonden die voldoet.

Veranderd door In fysics I trust, 21 december 2009 - 21:49

"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#13

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 december 2009 - 21:48

De vraag is: welke limiet? Je geeft een functie (de Dirichletfunctie), maar je geeft geen limiet.

EDIT: Ik zie dat je je bericht hebt aangepast.

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#14

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 21 december 2009 - 21:50

Ik geloof dat ik dat net ge-edit heb?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#15

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 december 2009 - 23:14

Ik heb je bewijs niet grondig bekeken, maar tonen dat iets geen limiet heeft, betekent dat je voor elke L moet tonen dat... Op deze manier zou je enkel bewijzen dat de limiet niet 1 is, niet dat de limiet niet bestaat.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures