[wiskunde] limiet bestaat niet

In physics I trust

Hoe toon je formeel aan dat de limiet van sin(1/x) niet bestaat voor x gaande naar 0?

Ik dacht een ε te kiezen en dan aan te tonen dat er geen δ bestaat waarvoor de definitie van limiet geldt:

ik draai de definitie om: i.p.v. er bestaat een δ zodat F(x)<δ , bewijs ik er bestaat een δ zodat F(x)>δ

Ik weet echter niet hoe deze ideeën formeel uit te werken ;-(

Kan iemand me daarbij helpen, a.u.b.?

Erg bedankt!

TD

Heb je de equivalentie definitie met rijen gezien? Dan kan je twee rijtjes maken die naar 0 convergeren, terwijl de functiewaarden verschillende limieten hebben.

upsilon

Ik dacht aan het volgende:

Stel de limiet in 0 (sin(1/x)) bestaat en is L.

Dan geldt voor alle e>0 dat er een d>0 bestaat zodat voor alle |x|<d geldt dat |f(x) - L|<e. Dan kies je bijvoorbeeld e =1/2 en bewijs je dat voor elke d>0 geldt dat er een |x|<d bestaat die niet in het epsilon gebied ligt.

In physics I trust

sin(x)= 1 als x = pi.gif/2 + 2k pi.gif

dus x = pi.gif/2 + 2k pi.gif

Analoog:

sin(1/x)= 1 als 1/x = pi.gif/2 + 2k pi.gif

dus 1/x=pi.gif/2 + 2k pi.gif en x = 1/(pi.gif/2 + 2k pi.gif)

Deze rij convergeert naar 0, terwijl de functiewaarden 1 blijven.

sin(1/x)= -1 als 1/x = 3 pi.gif/2 + 2k pi.gif

dus 1/x=3 pi.gif/2 + 2k pi.gif en x = 1/(3 pi.gif/2 + 2k pi.gif)

Deze rij convergeert naar 0 terwijl de functiewaarden -1 blijven. Hoe dicht we dus 0 ook naderen, de functiewaarden convergeren niet naar een bepaalde waarde. Kiezen we ε gelijk aan 1/2, dan bestaan er steeds F(x) die niet voldoen aan F(x)< ε

Klopt dit?

Dank u wel!

TD

Je hoeft epsilon-delta en de rijtjes niet te mengen. Ofwel heb je de equivalente definitie met rijen en dan volstaat het twee rijen te vinden die naar verschillende waarden convergeren; ofwel wil je het (zonder rijen) toch met de epsilon-deltadefinitie, zoals in de aanpak van upsilon geschetst.

In physics I trust

Bedankt!

Dus gewoon de laatste regel weglaten of uitwerken zoals upsilon suggereerde?

TD

Dat is een alternatief voor het werken met de rijtjes (dus gewoon vanuit de epsilon-delta definitie); als je het met die rijen doet (en die stelling gezien hebt), dan hoeft dat niet.

In physics I trust

Hoe werk je dit uit voor samengestelde voorschriften, vb.

f(x)=0 als x rationaal is

f(x)=1 als x reëel is

Kan u daar een hint voor geven?

Bedankt!

Klintersaas

In fysics I trust schreef:Hoe werk je dit uit voor samengestelde voorschriften, vb.

f(x)=0 als x rationaal is

f(x)=1 als x reëel is

Bedoel je hier niet eerder reëel maar niet rationaal (irrationaal dus)? Zo ja, zoek eens naar de Dirichletfunctie.

In physics I trust

\( \rr \)

\

\(\qq\)

idd

TD

Welke limiet wil je nu tonen?

In physics I trust

Ik zou het nog eens met epsilon-delta willen aantonen. Om te bewijzen dat een limiet niet bestaat:

\(\exists \epsilon >0 : \forall \delta >0: \exists x: 0<x-l < \delta:f(x)> \epsilon\)

met l de limiet (ik ga hier 1 nemen voor l).

Voor deze

\(\ \epsilon\)

neem ik bijvoorbeeld 1/2, voor x neem ik

\(1+\frac{\sqrt(2)}{N}\)

Nu neem ik N voldoende groot, en zie ik dat ik

\( 0<x-l < \delta\)

willekeurig klein kan maken, terwijl de functiewaarde 1 blijft omdat

\(1+\frac{\sqrt(2)}{N}\)

irrationaal is. Is dat correct? Ik heb dus een e gevonden die voldoet.

Klintersaas

De vraag is: welke limiet? Je geeft een functie (de Dirichletfunctie), maar je geeft geen limiet.

EDIT: Ik zie dat je je bericht hebt aangepast.

In physics I trust

Ik geloof dat ik dat net ge-edit heb?

TD

Ik heb je bewijs niet grondig bekeken, maar tonen dat iets geen limiet heeft, betekent dat je voor elke L moet tonen dat... Op deze manier zou je enkel bewijzen dat de limiet niet 1 is, niet dat de limiet niet bestaat.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] limiet bestaat niet

[wiskunde] limiet bestaat niet

Re: [wiskunde] limiet bestaat niet

Re: [wiskunde] limiet bestaat niet

Re: [wiskunde] limiet bestaat niet

Re: [wiskunde] limiet bestaat niet

Re: [wiskunde] limiet bestaat niet

Re: [wiskunde] limiet bestaat niet

Re: [wiskunde] limiet bestaat niet

Re: [wiskunde] limiet bestaat niet

Re: [wiskunde] limiet bestaat niet

Re: [wiskunde] limiet bestaat niet

Re: [wiskunde] limiet bestaat niet

Re: [wiskunde] limiet bestaat niet

Re: [wiskunde] limiet bestaat niet

Re: [wiskunde] limiet bestaat niet