Springen naar inhoud

[wiskunde] bewijs sinus monotoon stijgend


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Tudum

    Tudum


  • >250 berichten
  • 412 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 november 2009 - 09:08

Hallo,

ik heb straks test wiskunde, en bij het overlopen van de bewijzen merkte ik dat ik een van de bewijzen niet (meer) snap. Ik heb er een tijdje op gezocht, maar geraak echt niet verder, vandaar dat ik het hier even wilde vragen...

Het is het bewijs voor f(x) = sin x is monotoon stijgend op het interval [-pi/2, pi/2] met beeld [-1,1].

sin x - sin y = 2 sin [(x-y)/2] cos [(x+y)/2]

Beschouw dan pi/2 >= x > y >= -pi/2. Men kan dan (volgens mijn cursus, ik denk daar lichtjes anders over) eenvoudig aantonen dat

(x-y)/2 een element is van ]0, pi/2] en (x+y)/2 een element is van ]-pi/2, pi/2[, zodat sin x > sin y. Hieruit volgt het gestelde.


Het "men kan dan eenvoudig aantonen dat"-gedeelte:

Ik dacht dat zo aan te tonen:

x: maximum pi/2 (want pi/2 >= x) en minimum net iets groter dan -pi/2 (want x > -pi/2)
y: maximum net iets kleiner dan pi/2 en minimum -pi/2

(x-y)/2 wordt dan: maximum: [pi/2 - (-pi/2)]/2 = pi/2
minimum: (-pi/2 - pi/2)/2 = -pi/2

en gezien (x-y)/2 een element zou moeten zijn van ]0, pi/2] klopt dat dus al niet...

En vanwaar de "zodat sin x > sin y" komt is me al helemaal een raadsel.

Zou er iemand eventjes kunnen helpen aub? :eusa_whistle:
Vroeger Laura.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 november 2009 - 09:26

Als pi/2 >= x > y >= -pi/2, dan is x-y zeker positief (want x>y) en maximaal gelijk aan pi/2-(-pi/2), want dat zijn de uiterste grenzen. Dit is pi, dus (x-y)/2 is ligt inderdaad in ]0,pi/2].

Ga zelf even na of het dan ook lukt voor (x+y)/2.

Stel dat je die twee intervallen snapt, dan zijn beide factoren positief (ga na), dus sin x - sin y = 2 sin [(x-y)/2] cos [(x+y)/2] > 0 waaruit sin x - sin y > 0 en dus sin x > sin y.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Tudum

    Tudum


  • >250 berichten
  • 412 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 november 2009 - 09:39

Als pi/2 >= x > y >= -pi/2, dan is x-y zeker positief (want x>y) en maximaal gelijk aan pi/2-(-pi/2), want dat zijn de uiterste grenzen. Dit is pi, dus (x-y)/2 is ligt inderdaad in ]0,pi/2].

Ga zelf even na of het dan ook lukt voor (x+y)/2.

Stel dat je die twee intervallen snapt, dan zijn beide factoren positief (ga na), dus sin x - sin y = 2 sin [(x-y)/2] cos [(x+y)/2] > 0 waaruit sin x - sin y > 0 en dus sin x > sin y.


Als je pi/2 >= x > y >= -pi/2 herschrijft, dan krijg je dit:

x element van [pi/2, -pi/2[
y element van ]pi/2, -pi/2]

En als je dan het minimum wilt zoeken voor (x + y)/2, en daarvoor dus de kleinste waarden uit beide intervallen kiest (-pi/2 en -pi/2), dan heb je -pi/2 als minimum (wat met een open haakje aangeduid moet worden, gezien voor n van de minimumwaarden -pi/2 ook met een open haakje werd aangeduid)?

En voor het maximum krijg je dan (pi/2 + pi/2)/2 = pi/2, en dat moet ook met een open haakje aanduid worden, om dezelfde reden als hierboven?

Als dat juist is, denk ik dat ik het snap :eusa_whistle:

Hl hard bedankt! ](*,)
Vroeger Laura.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 november 2009 - 09:43

Klopt inderdaad. Misschien nog even over die open haakjes: als x > y :eusa_whistle: -pi/2 dan kan y wel gelijk zijn aan -pi/2, maar x "net niet", want x moet groter zijn dan y. Vandaar dat het minimum wel op -pi/2-pi/2 ligt, maar open; daaruit (x+y)/2 > -pi/2, analoog voor de bovengrens.

Is het daarna ook duidelijk waarom het gestelde volgt?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

Tudum

    Tudum


  • >250 berichten
  • 412 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 november 2009 - 09:54

Klopt inderdaad. Misschien nog even over die open haakjes: als x > y :eusa_whistle: -pi/2 dan kan y wel gelijk zijn aan -pi/2, maar x "net niet", want x moet groter zijn dan y. Vandaar dat het minimum wel op -pi/2-pi/2 ligt, maar open; daaruit (x+y)/2 > -pi/2, analoog voor de bovengrens.

Is het daarna ook duidelijk waarom het gestelde volgt?


Ik denk het wel. De sinus en cosinus zijn positief op het interval waarover het gaat, dus dan heb je 2*iets positiefs*iets positiefs = iets positiefs. Als sin x - sin y > iets positiefs, dan is sin x - sin y > 0. Overbrengen van - sin y naar het rechterlid geeft dan sin x > sin y. Zo?
Vroeger Laura.

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 november 2009 - 09:56

Inderdaad; een klein detail:

2*iets positiefs*iets positiefs = iets positiefs. Als sin x - sin y > iets positiefs, dan is sin x - sin y > 0.

Het is niet strikt groter dan iets positiefs, het is gewoon positief. Daaruit volgt wel strikt groter dan 0.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Tudum

    Tudum


  • >250 berichten
  • 412 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 november 2009 - 10:03

Inderdaad; een klein detail:


Het is niet strikt groter dan iets positiefs, het is gewoon positief. Daaruit volgt wel strikt groter dan 0.


Ah, ja, ok :eusa_whistle:

Bedankt!
Vroeger Laura.

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 november 2009 - 10:05

Ok, graag gedaan. Succes met je test!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures