[wiskunde] bewijs sinus monotoon stijgend

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Berichten: 412

[wiskunde] bewijs sinus monotoon stijgend

Hallo,

ik heb straks test wiskunde, en bij het overlopen van de bewijzen merkte ik dat ik een van de bewijzen niet (meer) snap. Ik heb er een tijdje op gezocht, maar geraak echt niet verder, vandaar dat ik het hier even wilde vragen...

Het is het bewijs voor f(x) = sin x is monotoon stijgend op het interval [-pi/2, pi/2] met beeld [-1,1].
sin x - sin y = 2 sin [(x-y)/2] cos [(x+y)/2]

Beschouw dan pi/2 >= x > y >= -pi/2. Men kan dan (volgens mijn cursus, ik denk daar lichtjes anders over) eenvoudig aantonen dat

(x-y)/2 een element is van ]0, pi/2] en (x+y)/2 een element is van ]-pi/2, pi/2[, zodat sin x > sin y. Hieruit volgt het gestelde.
Het "men kan dan eenvoudig aantonen dat"-gedeelte:

Ik dacht dat zo aan te tonen:

x: maximum pi/2 (want pi/2 >= x) en minimum net iets groter dan -pi/2 (want x > -pi/2)

y: maximum net iets kleiner dan pi/2 en minimum -pi/2

(x-y)/2 wordt dan: maximum: [pi/2 - (-pi/2)]/2 = pi/2

minimum: (-pi/2 - pi/2)/2 = -pi/2

en gezien (x-y)/2 een element zou moeten zijn van ]0, pi/2] klopt dat dus al niet...

En vanwaar de "zodat sin x > sin y" komt is me al helemaal een raadsel.

Zou er iemand eventjes kunnen helpen aub? :eusa_whistle:
Vroeger Laura.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] bewijs sinus monotoon stijgend

Als pi/2 >= x > y >= -pi/2, dan is x-y zeker positief (want x>y) en maximaal gelijk aan pi/2-(-pi/2), want dat zijn de uiterste grenzen. Dit is pi, dus (x-y)/2 is ligt inderdaad in ]0,pi/2].

Ga zelf even na of het dan ook lukt voor (x+y)/2.

Stel dat je die twee intervallen snapt, dan zijn beide factoren positief (ga na), dus sin x - sin y = 2 sin [(x-y)/2] cos [(x+y)/2] > 0 waaruit sin x - sin y > 0 en dus sin x > sin y.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 412

Re: [wiskunde] bewijs sinus monotoon stijgend

TD schreef:Als pi/2 >= x > y >= -pi/2, dan is x-y zeker positief (want x>y) en maximaal gelijk aan pi/2-(-pi/2), want dat zijn de uiterste grenzen. Dit is pi, dus (x-y)/2 is ligt inderdaad in ]0,pi/2].

Ga zelf even na of het dan ook lukt voor (x+y)/2.

Stel dat je die twee intervallen snapt, dan zijn beide factoren positief (ga na), dus sin x - sin y = 2 sin [(x-y)/2] cos [(x+y)/2] > 0 waaruit sin x - sin y > 0 en dus sin x > sin y.
Als je pi/2 >= x > y >= -pi/2 herschrijft, dan krijg je dit:

x element van [pi/2, -pi/2[

y element van ]pi/2, -pi/2]

En als je dan het minimum wilt zoeken voor (x + y)/2, en daarvoor dus de kleinste waarden uit beide intervallen kiest (-pi/2 en -pi/2), dan heb je -pi/2 als minimum (wat met een open haakje aangeduid moet worden, gezien voor één van de minimumwaarden -pi/2 ook met een open haakje werd aangeduid)?

En voor het maximum krijg je dan (pi/2 + pi/2)/2 = pi/2, en dat moet ook met een open haakje aanduid worden, om dezelfde reden als hierboven?

Als dat juist is, denk ik dat ik het snap :eusa_whistle:

Héél hard bedankt! ](*,)
Vroeger Laura.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] bewijs sinus monotoon stijgend

Klopt inderdaad. Misschien nog even over die open haakjes: als x > y :eusa_whistle: -pi/2 dan kan y wel gelijk zijn aan -pi/2, maar x "net niet", want x moet groter zijn dan y. Vandaar dat het minimum wel op -pi/2-pi/2 ligt, maar open; daaruit (x+y)/2 > -pi/2, analoog voor de bovengrens.

Is het daarna ook duidelijk waarom het gestelde volgt?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 412

Re: [wiskunde] bewijs sinus monotoon stijgend

TD schreef:Klopt inderdaad. Misschien nog even over die open haakjes: als x > y :eusa_whistle: -pi/2 dan kan y wel gelijk zijn aan -pi/2, maar x "net niet", want x moet groter zijn dan y. Vandaar dat het minimum wel op -pi/2-pi/2 ligt, maar open; daaruit (x+y)/2 > -pi/2, analoog voor de bovengrens.

Is het daarna ook duidelijk waarom het gestelde volgt?
Ik denk het wel. De sinus en cosinus zijn positief op het interval waarover het gaat, dus dan heb je 2*iets positiefs*iets positiefs = iets positiefs. Als sin x - sin y > iets positiefs, dan is sin x - sin y > 0. Overbrengen van - sin y naar het rechterlid geeft dan sin x > sin y. Zo?
Vroeger Laura.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] bewijs sinus monotoon stijgend

Inderdaad; een klein detail:
2*iets positiefs*iets positiefs = iets positiefs. Als sin x - sin y > iets positiefs, dan is sin x - sin y > 0.
Het is niet strikt groter dan iets positiefs, het is gewoon positief. Daaruit volgt wel strikt groter dan 0.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 412

Re: [wiskunde] bewijs sinus monotoon stijgend

TD schreef:Inderdaad; een klein detail:

Het is niet strikt groter dan iets positiefs, het is gewoon positief. Daaruit volgt wel strikt groter dan 0.
Ah, ja, oké :eusa_whistle:

Bedankt!
Vroeger Laura.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] bewijs sinus monotoon stijgend

Oké, graag gedaan. Succes met je test!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer