[wiskunde] rationale functies primitiveerbaar

Tudum

Hallo,

voor de test wiskunde die ik straks heb was ik eens aan het kijken naar een aantal vragen die je zou moeten kunnen oplossen na genoeg geleerd te hebben. Ik zit vast bij één van de vragen. De vraag is om uit te leggen waarom alle rationale functies primitiveerbaar zijn, en te beschrijven waar de moeilijkheden in de praktijk liggen.

Ik had al bedacht dat je dankzij de hoofdstelling van de algebra kunt zeggen dat je de noemer (= een veelterm) altijd kunt ontbinden in factoren. Zo krijg je een som van integralen van één van de twee vormen die hieronder staan:

A(x-a) of (Ax + B)/(ax² + bx + c)

Met A en B element van R

a, b, c element van R

Maar dat lijkt me niet zo'n wiskundig correcte uitleg, en na wat ik hierboven geschreven heb ik zit ik vast.

Ik zou het heel leuk vinden moest iemand me even verder helpen :eusa_whistle:

TD

A/(x-a) of (Ax + B)/(ax² + bx + c)

Voor P(x)/Q(x) kan je steeds de deling uitvoeren, tenzij graad(P(x)) < graad(Q(x)). Na de deling kan je het quotiënt (veelterm) eenvoudig primitiveren en de rest geeft aanleiding tot een breuk waarvoor graad(P(x)) < graad(Q(x)).

Je kan dan Q(x) volledig ontbinden in lineaire factoren en kwadratische factoren met negatieve discriminant. Het vervolg steunt dan op de splitsing in partieelbreuken, namelijk dat je die P(x)/Q(x) kan schrijven als een som van termen van de vorm:

\(\frac{A}{{{{\left( {x - a} \right)}^n}}} \; \mbox{ en } \; \frac{{Bx + C}}{{{{\left( {{ax^2} + bx + c} \right)}^n}}}\)

Waarbij b²-4ac<0 in die laatste breuk. Dit is dus bijna wat jij had, maar iets algemener (de eventuele natuurlijke macht n in de noemer). Het integreren is dan herleid naar het integreren van elk van deze partieelbreuken. Je moet dan nog tonen dat breuken van dit type, steeds een primitieve hebben. Eenvoudig voor de eerste vorm, iets technischer voor de tweede.

Tudum

TD schreef:Voor P(x)/Q(x) kan je steeds de deling uitvoeren, tenzij graad(P(x)) < graad(Q(x)). Na de deling kan je het quotiënt (veelterm) eenvoudig primitiveren en de rest geeft aanleiding tot een breuk waarvoor graad(P(x)) < graad(Q(x)).

Je kan dan Q(x) volledig ontbinden in lineaire factoren en kwadratische factoren met negatieve discriminant. Het vervolg steunt dan op de splitsing in partieelbreuken, namelijk dat je die P(x)/Q(x) kan schrijven als een som van termen van de vorm:

\(\frac{A}{{{{\left( {x - a} \right)}^n}}} \; \mbox{ en } \; \frac{{Bx + C}}{{{{\left( {{ax^2} + bx + c} \right)}^n}}}\)
Waarbij b²-4ac<0 in die laatste breuk. Dit is dus bijna wat jij had, maar iets algemener (de eventuele natuurlijke macht n in de noemer). Het integreren is dan herleid naar het integreren van elk van deze partieelbreuken. Je moet dan nog tonen dat breuken van dit type, steeds een primitieve hebben. Eenvoudig voor de eerste vorm, iets technischer voor de tweede.

Dat van het volledig ontbinden in lineaire factoren en kwadratische factoren met negatieve discriminant is toch (een gevolg van) de hoofdstelling van de algebra he?

De eerste vorm primitiveren moet zo:

integraal(Adx/(a-x)^n)

-A*integraal (d(a-x)/(a-x)^n)

Als n = 1, dan krijg je: -A ln |x-a| + c

Als n niet gelijk is aan 1, dan krijg je: -A * (1/(n+1)) * (1/(a - x)^(n+1))

En de tweede vorm, da's dan heel dat gedoe met het herleiden van die integraal naar 1/(1 + t²)^n?

Zo is dat voldoende bewezen?

jhnbk

Daar komt het inderdaad op neer maar of dat afdoende bewezen is is moeilijk te zeggen aangezien wij niet weten wat ze eisen.

Tudum

Daar komt het inderdaad op neer maar of dat afdoende bewezen is is moeilijk te zeggen aangezien wij niet weten wat ze eisen.

Hmm... Probleem: ik weet dat ook niet ](*,)

Bedankt voor de reacties trouwens! :eusa_whistle:

TD

Dat van het volledig ontbinden in lineaire factoren en kwadratische factoren met negatieve discriminant is toch (een gevolg van) de hoofdstelling van de algebra he?

Juist.

Zo is dat voldoende bewezen?

Dat hangt af van hoe formeel je het moet bewijzen...

Tudum

TD schreef:Juist.

Dat hangt af van hoe formeel je het moet bewijzen...

Oké, bedankt :eusa_whistle:

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] rationale functies primitiveerbaar

[wiskunde] rationale functies primitiveerbaar

Re: [wiskunde] rationale functies primitiveerbaar

Re: [wiskunde] rationale functies primitiveerbaar

Re: [wiskunde] rationale functies primitiveerbaar

Re: [wiskunde] rationale functies primitiveerbaar

Re: [wiskunde] rationale functies primitiveerbaar

Re: [wiskunde] rationale functies primitiveerbaar