Springen naar inhoud

Kardinaliteit van powerset


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Dida

    Dida


  • 0 - 25 berichten
  • 7 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 09 november 2009 - 20:27

Volgens een stelling van Cantor is het zo dat de kardinaliteit van de powerset altijd groter is dan de kardinaliteit van die set zelf. Volgens mij zou het volgende echter moeten betekenen dat de volgende set en zijn powerset de zelfde kardinaliteit hebben. Dit kan natuurlijk niet kloppen, dus ik zal ergens een foutje gemaakt moeten hebben, maar ik zie het zo even niet, dus vroeg ik me af of iemand van jullie het ziet?

- Stel, je hebt de set van alle priemgetallen. Deze set heeft duidelijk de zelfde kardinaliteit als de natuurlijke getallen.
- Nu nemen we elke mogelijke subset van deze set (dus alle element uit de powerset), en vermenigvuldigen steeds alle elementen van die sets met elkaar. Dit geeft elke keer een uniek natuurlijk getal.
- Nu hebben we een map die elk element uit die powerset mapt naar een uniek natuurlijk getal, wat dus zou betekenen dat de powerset ook de kardinaliteit van de natuurlijke getallen zou hebben.

Dat zou dan toch moeten betekenen dat de powerset van alle priemgetallen (en dus effectief elke andere set met de kardinaliteit van de natuurlijke getallen) de zelfde kardinaliteit heeft als de set van alle priemgetallen zelf?

Veranderd door Dida, 09 november 2009 - 20:30


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 november 2009 - 20:47

- Nu nemen we elke mogelijke subset van deze set (dus alle element uit de powerset), en vermenigvuldigen steeds alle elementen van die sets met elkaar. Dit geeft elke keer een uniek natuurlijk getal.

Dat lijkt me onmogelijk, want de meeste subsets zijn oneindig, dus alle getallen met elkaar vermenigvuldigen kan niet (en geeft zeker geen uniek natuurlijk getal).
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#3

Dida

    Dida


  • 0 - 25 berichten
  • 7 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 09 november 2009 - 20:53

Dat is em, bedankt:)

#4

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 november 2009 - 21:27

Het argument dat jij gaf geldt wel voor eindige deelverzamelingen. Een aardige stelling in dit verband, is dat voor iedere oneindige verzameling A geldt LaTeX (fin staat voor finite), dat wil zeggen: een oneindige verzameling en de collectie van al zijn eindige deelverzamelingen zijn gelijkmachtig. (Hiervoor heb je wel het keuze-axioma/Zorn nodig)

Dus er geldt in het bijzonder LaTeX .
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures