Springen naar inhoud

[wiskunde] bewijs over het bereiken van een 0


  • Log in om te kunnen reageren

#1

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 10 november 2009 - 22:21

http://homepages.vub...pe/analyse1.pdf p46 onderaan.

Ik zit met een probleem bij dit bewijs:

Eerst wordt er de verzameling V genomen van de x-waarden met positieve functiewaarden: OK. Deze verzameling is gesloten en dus begrensd. OK. Er wordt dus een supremum bereikt in een c element van [a,b]: OK. Maar waarom geldt a<c en niet a<=c: de linkergrens kan meteen toch ook het supremum zijn?

Bedankt!
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24050 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 november 2009 - 22:28

Zoals het er staat: omdat f (rechts)continu is in a, moet f positief zijn op een rechteromgeving van a, dus op (a,a+e). Die c kan dus ten hoogste gelijk zijn aan a+e en is dus strikt groter dan a.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 10 november 2009 - 22:36

Maar waarom zou a < a +ε gelden?

Als de functie rechtscontinu is in a, kan het toch zijn dat de functie daalt en blijft dalen? In dit geval wordt het supremum toch bereikt 'zo links mogelijk', met andere woorden in a?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24050 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 november 2009 - 22:38

Die a is een x-waarde, geen beeld... Dus uiteraard a < a + e, maar daarom nog niet f(a) < f(a+e)...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 10 november 2009 - 22:44

OK, dat begrijp ik nu.
Maar er staat: c=sup V, dit betekent toch dat het gesloten interval de grootste waarde bereikt voor c?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24050 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 november 2009 - 22:47

Welk gesloten interval...?

Je veronderstelt f(a) > 0 en wegens continuÔteit, volgt daaruit positief op een omgeving (a,a+e).
De x-waarden waarvoor f positief is heeft een supremum, voor dit supremum c geldt c :eusa_whistle: a+e.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 10 november 2009 - 22:50

Maar waarom zou dat supremum niet in a bereikt worden?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24050 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 november 2009 - 22:55

Volgens mij ben je toch nog in de war en lijk je met dat supremum aan beelden/functiewaarden te denken.

Je hebt het interval [a,b] en je veronderstelt f(a) > 0. Maar omdat f (rechts)continu is in a, is a niet het enige getal waarvoor f(a) > 0; f is ten minste positief op een omgeving (a,a+e) met e>0. De verzameling van alle x'en waarvoor f(x) positief is bevat dus a en elementen willekeurig dicht bij (rechts van) a. Je zoekt het supremum van die verzameling. Aangezien a+e voor een zekere e daar in zit, kan a niet het supremum zijn. Dat supremum is op z'n minst a+e voor een niet-nulle e en is dus strikt groter dan a.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 10 november 2009 - 23:05

Je schuift in de de verzameling V zo ver mogelijk naar rechts waarbij je nog steeds een positieve functiewaarde eist.
Als je vanuit a naar rechts schuift, kom je in a +ε . En a +ε is groter dan a als ε :eusa_whistle: 0. Dus a<c en analoog c<b.
Zo zit het toch?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24050 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 november 2009 - 23:08

Je schuift in de de verzameling V zo ver mogelijk naar rechts waarbij je nog steeds een positieve functiewaarde eist.
Als je vanuit a naar rechts schuift, kom je in a +ε . En a +ε is groter dan a als ε ](*,) 0.

Omdat f(a) > 0 en f rechtscontinu in a, ook f(a+e) > 0 voor zekere e>0, dus het supremum c :eusa_whistle: a+e > a; inderdaad.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 10 november 2009 - 23:20

In het volgende stuk van datzelfde bewijs wordt bewezen dat f©<0 en f©>0 ongerijmd zijn en dat dus geldt f©=0.

Als f©<0, dan bezit c enerzijds een basisomgeving waarbinnen het teken constant is (hier negatief) (wegens continu) en anderzijds bevat de basisomgeving een element van V (c is immers een supremum van deze verzameling). Dit laatste impliceert f(x) >0, en dat is ongerijmd met het constante negatieve teken in de basisomgeving van c (f(x)<0).

Heb ik deze laatste redenering correct geÔnterpreteerd?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24050 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 november 2009 - 23:23

Klopt.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#13

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 10 november 2009 - 23:26

Je hebt me weeral fantastisch geholpen :eusa_whistle:
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#14

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24050 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 november 2009 - 23:29

Graag gedaan :eusa_whistle:
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures