http://homepages.vub.ac.be/~scaenepe/analyse1.pdf p46 onderaan.
Ik zit met een probleem bij dit bewijs:
Eerst wordt er de verzameling V genomen van de x-waarden met positieve functiewaarden: OK. Deze verzameling is gesloten en dus begrensd. OK. Er wordt dus een supremum bereikt in een c element van [a,b]: OK. Maar waarom geldt a<c en niet a<=c: de linkergrens kan meteen toch ook het supremum zijn?
Bedankt!
Laatste berichten
-
08:29
Programmeren met vectoren 5
-
23:12
speciale rel. theorie 10
-
22:57
Straatklok loopt 5 minuten voor 11
-
22:57
wig 6
-
22:36
Gravity and gravitation 4
-
22:24
[scheikunde] vraag Chemie - wat is de oplossing? 10
-
19:47
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 10
-
19:44
Vogels in de stad zijn goede klussers 2
-
19:12
Rood laserlicht 3
-
17:30
Herleiden afmetingen vanaf een foto 21
-
16:34
[wiskunde] Prijs Product per KG; Alternatief Inzicht 3
-
13:57
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 9
-
13:16
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 17
-
13:12
[natuurkunde] kroon van koning op Syracuse 10
-
25 apr
2013 – Augustus Vraag 3 3
-
24 apr
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
24 apr
positie 2
-
24 apr
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
23 apr
Weerfrustratie 9
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
[wiskunde] bewijs over het bereiken van een 0
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 7.390
[wiskunde] bewijs over het bereiken van een 0
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
-
- Berichten: 24.578
Re: [wiskunde] bewijs over het bereiken van een 0
Zoals het er staat: omdat f (rechts)continu is in a, moet f positief zijn op een rechteromgeving van a, dus op (a,a+e). Die c kan dus ten hoogste gelijk zijn aan a+e en is dus strikt groter dan a.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 7.390
Re: [wiskunde] bewijs over het bereiken van een 0
Maar waarom zou a < a +ε gelden?
Als de functie rechtscontinu is in a, kan het toch zijn dat de functie daalt en blijft dalen? In dit geval wordt het supremum toch bereikt 'zo links mogelijk', met andere woorden in a?
Als de functie rechtscontinu is in a, kan het toch zijn dat de functie daalt en blijft dalen? In dit geval wordt het supremum toch bereikt 'zo links mogelijk', met andere woorden in a?
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
-
- Berichten: 24.578
Re: [wiskunde] bewijs over het bereiken van een 0
Die a is een x-waarde, geen beeld... Dus uiteraard a < a + e, maar daarom nog niet f(a) < f(a+e)...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 7.390
Re: [wiskunde] bewijs over het bereiken van een 0
OK, dat begrijp ik nu.
Maar er staat: c=sup V, dit betekent toch dat het gesloten interval de grootste waarde bereikt voor c?
Maar er staat: c=sup V, dit betekent toch dat het gesloten interval de grootste waarde bereikt voor c?
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
-
- Berichten: 24.578
Re: [wiskunde] bewijs over het bereiken van een 0
Welk gesloten interval...?
Je veronderstelt f(a) > 0 en wegens continuïteit, volgt daaruit positief op een omgeving (a,a+e).
De x-waarden waarvoor f positief is heeft een supremum, voor dit supremum c geldt c :eusa_whistle: a+e.
Je veronderstelt f(a) > 0 en wegens continuïteit, volgt daaruit positief op een omgeving (a,a+e).
De x-waarden waarvoor f positief is heeft een supremum, voor dit supremum c geldt c :eusa_whistle: a+e.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 7.390
Re: [wiskunde] bewijs over het bereiken van een 0
Maar waarom zou dat supremum niet in a bereikt worden?
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
-
- Berichten: 24.578
Re: [wiskunde] bewijs over het bereiken van een 0
Volgens mij ben je toch nog in de war en lijk je met dat supremum aan beelden/functiewaarden te denken.
Je hebt het interval [a,b] en je veronderstelt f(a) > 0. Maar omdat f (rechts)continu is in a, is a niet het enige getal waarvoor f(a) > 0; f is ten minste positief op een omgeving (a,a+e) met e>0. De verzameling van alle x'en waarvoor f(x) positief is bevat dus a en elementen willekeurig dicht bij (rechts van) a. Je zoekt het supremum van die verzameling. Aangezien a+e voor een zekere e daar in zit, kan a niet het supremum zijn. Dat supremum is op z'n minst a+e voor een niet-nulle e en is dus strikt groter dan a.
Je hebt het interval [a,b] en je veronderstelt f(a) > 0. Maar omdat f (rechts)continu is in a, is a niet het enige getal waarvoor f(a) > 0; f is ten minste positief op een omgeving (a,a+e) met e>0. De verzameling van alle x'en waarvoor f(x) positief is bevat dus a en elementen willekeurig dicht bij (rechts van) a. Je zoekt het supremum van die verzameling. Aangezien a+e voor een zekere e daar in zit, kan a niet het supremum zijn. Dat supremum is op z'n minst a+e voor een niet-nulle e en is dus strikt groter dan a.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 7.390
Re: [wiskunde] bewijs over het bereiken van een 0
Je schuift in de de verzameling V zo ver mogelijk naar rechts waarbij je nog steeds een positieve functiewaarde eist.
Als je vanuit a naar rechts schuift, kom je in a +ε . En a +ε is groter dan a als ε :eusa_whistle: 0. Dus a<c en analoog c<b.
Zo zit het toch?
Als je vanuit a naar rechts schuift, kom je in a +ε . En a +ε is groter dan a als ε :eusa_whistle: 0. Dus a<c en analoog c<b.
Zo zit het toch?
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
-
- Berichten: 24.578
Re: [wiskunde] bewijs over het bereiken van een 0
Omdat f(a) > 0 en f rechtscontinu in a, ook f(a+e) > 0 voor zekere e>0, dus het supremum c :eusa_whistle: a+e > a; inderdaad.In fysics I trust schreef:Je schuift in de de verzameling V zo ver mogelijk naar rechts waarbij je nog steeds een positieve functiewaarde eist.
Als je vanuit a naar rechts schuift, kom je in a +ε . En a +ε is groter dan a als ε ](*,) 0.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 7.390
Re: [wiskunde] bewijs over het bereiken van een 0
In het volgende stuk van datzelfde bewijs wordt bewezen dat f©<0 en f©>0 ongerijmd zijn en dat dus geldt f©=0.
Als f©<0, dan bezit c enerzijds een basisomgeving waarbinnen het teken constant is (hier negatief) (wegens continu) en anderzijds bevat de basisomgeving een element van V (c is immers een supremum van deze verzameling). Dit laatste impliceert f(x) >0, en dat is ongerijmd met het constante negatieve teken in de basisomgeving van c (f(x)<0).
Heb ik deze laatste redenering correct geïnterpreteerd?
Als f©<0, dan bezit c enerzijds een basisomgeving waarbinnen het teken constant is (hier negatief) (wegens continu) en anderzijds bevat de basisomgeving een element van V (c is immers een supremum van deze verzameling). Dit laatste impliceert f(x) >0, en dat is ongerijmd met het constante negatieve teken in de basisomgeving van c (f(x)<0).
Heb ik deze laatste redenering correct geïnterpreteerd?
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
-
- Berichten: 24.578
Re: [wiskunde] bewijs over het bereiken van een 0
Klopt.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 7.390
Re: [wiskunde] bewijs over het bereiken van een 0
Je hebt me weeral fantastisch geholpen :eusa_whistle:
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
-
- Berichten: 24.578
Re: [wiskunde] bewijs over het bereiken van een 0
Graag gedaan :eusa_whistle:
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
