Omtrek spiraal
-
- Berichten: 150
Omtrek spiraal
Hoe kan je het beste de omtrek een continue spiraal (rol tape rond een takje) berekenen, zodat de straal uiteindelijk h is. Uitgaande van een "groot genoege" h, zodat je het kan benaderen als een spiraal beginnend met straal 0.
Met vriendelijke groet,
Tim
Met vriendelijke groet,
Tim
-
- Berichten: 8.614
Re: Omtrek spiraal
Dat is de straal van de spiraal.
Geloof niet alles wat je leest.
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
- Berichten: 66
Re: Omtrek spiraal
Dit is de spiraal van Archimedes. Na een omwenteling is de straal bijvoorbeeld h. Bij de tweede omwenteling is de straal 2h, etc. Deze spiraal vind je terug bij de ouderwetse lp van buiten naar binnen en bij de cd van binnen naar buiten. Archimedes heeft een bijzondere eigenschap van deze spiraal ontdekt: als je de spiraal vanuit een (middel)punt van binnen naar buiten tekent en je trekt na een omwenteling een raaklijn aan de spiraal, dan snijdt deze raaklijn de loodlijn vanuit het middelpunt, waarbij het lijnstuk van middelpunt tot snijpunt precies gelijk is aan de omtrek van de cirkel met straal h! Ik durf te beweren dat de lengte van de spiraal na een omwenteling precies gelijk is aan het lijnstuk van het punt waar de raaklijn de spiraal raakt tot het snijpunt!
Het bewijs voor deze eigenschap heeft Archimedes helaas niet geleverd. Tot op de dag van vandaag blijft dit een mysterie (zie de Wetenschappelijke Biografie van Archimedes).
Ik kan dit illustreren met een grafiek en een tekening, maar op dit forum kan je helaas geen bijlagen bijvoegen.
Het bewijs voor deze eigenschap heeft Archimedes helaas niet geleverd. Tot op de dag van vandaag blijft dit een mysterie (zie de Wetenschappelijke Biografie van Archimedes).
Ik kan dit illustreren met een grafiek en een tekening, maar op dit forum kan je helaas geen bijlagen bijvoegen.
-
- Berichten: 8.614
Re: Omtrek spiraal
Dat kun je wel. Zie hier.Ik kan dit illustreren met een grafiek en een tekening, maar op dit forum kan je helaas geen bijlagen bijvoegen.
Geloof niet alles wat je leest.
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
- Berichten: 66
Re: Omtrek spiraal
Oke, ik zal morgen die grafiek en tekening bijvoegen. Zij staan op mijn pc thuis.
-
- Berichten: 4.502
Re: Omtrek spiraal
De verticale halve doorsnede van de gevormde kegel is een rechthoekige driehoek,waarbij dus de top een straal van nul heeft en de basis een straal van h.ametim schreef:Hoe kan je het beste de omtrek een continue spiraal (rol tape rond een takje) berekenen, zodat de straal uiteindelijk h is. Uitgaande van een "groot genoege" h, zodat je het kan benaderen als een spiraal beginnend met straal 0.
Met vriendelijke groet,
Tim
Aangezien bij een driehoek 0,5 h ( halve basislengte)op halve hoogte ligt,geldt dus voor de kegel idem.
Dus nmm. bekleedt de spiraal een oppervlakte van 2*pi*0,5h *spiraalhoogte (= verticale kegelhoogte);je vermeldt niet de afmeting van de tape,incl. de evt. overlapping bij de omwinding.
En nam Archimedes wrs.niet de moeite om het bewijs verder aan te tonen!
- Berichten: 66
Re: Omtrek spiraal
Ik heb de grafiek en tekening!
Een spiraal heeft helemaal geen omtrek. Een cirkel heeft bijvoorbeeld een omtrek, maar een spiraal heeft alleen maar een lengte. De omtrek van een cirkel kun je makkelijk uitrekenen, maar er bestaat geen formule voor de lengte van een spiraal. Helaas kun je geen lineaal gebruiken om even de lengte van een spiraal te meten. Je kunt de lengte van een spiraal wel meten met een lineaal als je de spiraal als een touwtje rechttrekt door aan beide uiteinden te gaan trekken! Dit zal ik als nieuw onderwerp bespreken, met de illustraties erbij.
Een spiraal heeft helemaal geen omtrek. Een cirkel heeft bijvoorbeeld een omtrek, maar een spiraal heeft alleen maar een lengte. De omtrek van een cirkel kun je makkelijk uitrekenen, maar er bestaat geen formule voor de lengte van een spiraal. Helaas kun je geen lineaal gebruiken om even de lengte van een spiraal te meten. Je kunt de lengte van een spiraal wel meten met een lineaal als je de spiraal als een touwtje rechttrekt door aan beide uiteinden te gaan trekken! Dit zal ik als nieuw onderwerp bespreken, met de illustraties erbij.
-
- Berichten: 4.502
Re: Omtrek spiraal
Je verhaal is wel te berekenen:
Als die spiraal een draad is kun je die wikkelen als bij een auto-dynamo,dus tegen elkaar.
Neem je dan een draadlengte van 1 mm en is de draagdikte 0,5 mm,dan is het deel van het oppervlak op de omtrek van de kegelvorm van de spiraal , dan is het opp. dus 1 * 0,5 mm2= 0,5 mm2.
Heeft de spiraal dus een straal van 100 mm op de basis dan wordt de gemiddelde straal als eerder berekend dus 50 mm en als de spiraal een hoogte heeft van 80 mm,dan wordt de opp. 2*pi*50 *80 mm2= 25132 mm2 en is de lengte van de spiraaldraad die opp gedeeld door 0,5 mm2 ofwel 50265 eenheden van de genomen lengte van de wikkeldraad,dus wordt dat 50265 mm ofwel 50,265 meter aan benodigd draad!
Als die spiraal een draad is kun je die wikkelen als bij een auto-dynamo,dus tegen elkaar.
Neem je dan een draadlengte van 1 mm en is de draagdikte 0,5 mm,dan is het deel van het oppervlak op de omtrek van de kegelvorm van de spiraal , dan is het opp. dus 1 * 0,5 mm2= 0,5 mm2.
Heeft de spiraal dus een straal van 100 mm op de basis dan wordt de gemiddelde straal als eerder berekend dus 50 mm en als de spiraal een hoogte heeft van 80 mm,dan wordt de opp. 2*pi*50 *80 mm2= 25132 mm2 en is de lengte van de spiraaldraad die opp gedeeld door 0,5 mm2 ofwel 50265 eenheden van de genomen lengte van de wikkeldraad,dus wordt dat 50265 mm ofwel 50,265 meter aan benodigd draad!
- Berichten: 3.751
Re: Omtrek spiraal
De lengte van de Archimedische spiraal is gemakkelijk te berekenen door integratie. Ik bekom
waarbij n het aantal wikkelingen is (dus h/d, met d de dikte van de tape). Uitrekenen geeft
wat voor een grote straal goed benaderd wordt door
Het is ook eenvoudig om niet de benadering te maken dat de spiraal start in de oorsprong.
\(\frac{h}{2\pi}\int_0^{2\pi n}\sqrt{1+t^2}dt\)
, waarbij n het aantal wikkelingen is (dus h/d, met d de dikte van de tape). Uitrekenen geeft
\(\frac{h}{2}\left(\frac{1}{2\pi}asinh(2\pi n)+n\sqrt{1+(2\pi n)^2}\right)\)
,wat voor een grote straal goed benaderd wordt door
\(\pi n^2h\)
. Dit is logisch: de lengte is ongeveer n keer de lengte van een cirkel die 'de gemiddelde straal heeft'. Of als je het onmiddellijk in 'straal' h van de spiraal en dikte d van de tape wil: ongeveer\(\pi\frac{h^3}{d^2}\)
.Het is ook eenvoudig om niet de benadering te maken dat de spiraal start in de oorsprong.
-
- Berichten: 4.502
Re: Omtrek spiraal
En een ander probleem is natuurlijk,welke helling de spiraal volgt op de kegel (of in kegelvorm);is die helling heel vlak of sterk.
Met een sterke helling krijg je natuurlijk het probleem van de niet beklede delen van het kegelvlak bij het beging ( het minste) en bij het eind (het meeste)
Maar de aangegeven formules geven duidelijke benaderingen weer en dat vind ik een interessant onderdeel van deze topic,omdat ik een andere benadering volgde ( ik moest meer "uitvinden").
Met een sterke helling krijg je natuurlijk het probleem van de niet beklede delen van het kegelvlak bij het beging ( het minste) en bij het eind (het meeste)
Maar de aangegeven formules geven duidelijke benaderingen weer en dat vind ik een interessant onderdeel van deze topic,omdat ik een andere benadering volgde ( ik moest meer "uitvinden").