Springen naar inhoud

[wiskunde] differentialen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 11 november 2009 - 13:58

Ik weet het volgende: dy=f'(a)*Δx (definitie differentiaal).

Nu wordt dit verkort genoteerd als:

voor y=g(f(x)):
dy=(dy/du)*du)
=((dy/du)*(du/dx)*dx)

Maar een differentiaal is geen echt quotiŽnt, dus ik zie niet in hoe dit dan wiskundig verklaard wordt?

Dank bij voorbaat!
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 november 2009 - 14:07

Het is me niet helemaal duidelijk wat je specifieke vraag hierover is...?

In het algemeen, en eerder intuÔtief: de notatie dy/dx is inderdaad geen "echt quotiŽnt", maar de limiet van een quotiŽnt. De reden waarom je er soms wel manipulaties mee kan doen alsof het een quotiŽnt is, is omdat je steeds terug kan gaan naar die limiet van de "echte breuk", daar je manipulaties doen en terug de limietovergang nemen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 11 november 2009 - 14:09

Kan je deze manipulaties ook uitvoeren op differentialen van hogere orde?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 november 2009 - 14:13

Geef eens een concreet voorbeeld van wat je bedoelt of verduidelijk je vraag eens; want ik begrijp niet helemaal waar je op doelt.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 11 november 2009 - 14:21

Ik hoop dat deze formulering iets duidelijker is...
Kan je LaTeX nog steeds als breuk beschouwen?
Mijn redenering is de volgende: dny is een functie van f(n)(x), maar toch ook van Δx?
Daarom vroeg ik me af of je hier ook mee mag rekenen (manipuleren) zoals met een quotiŽnt?

Veranderd door In fysics I trust, 11 november 2009 - 14:22

"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 november 2009 - 14:32

In het algemeen ga je er best van uit, dat het niet mag. In bepaalde gevallen werkt het, om redenen die ik eerder al aanhaalde. Ik denk niet dat je er in het algemeen veel over kan zeggen, dus ik zou me beperken tot op veilig spelen en er alleen mee doen wat je er strikt mee mag doen. Ofwel moet je concreter zijn, wat zou je 'willen doen'...?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 11 november 2009 - 14:37

Ik heb niet iets concreet op het oog, maar de notatie dy=(dy/du)*du)=((dy/du)*(du/dx)*dx) verwarde me omdat de structuur van wat een differentiaal doet, er niet inzit.
Daarom vroeg ik me af of er 'rekenregels' bestonden om te rekenen met deze differentialen van orde n in hun verkorte schrijfwijze, zodat ik daar concreet mee zou kunnen rekenen, en weten hoe ik een uitdrukking al dan niet mag 'vereenvoudigen'.
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 november 2009 - 14:47

Ik heb niet iets concreet op het oog, maar de notatie dy=(dy/du)*du)=((dy/du)*(du/dx)*dx) verwarde me omdat de structuur van wat een differentiaal doet, er niet inzit.

Hoezo zit dat er niet in? Je hebt daarvoor gezien dat je voor y = f(x), kan noteren:

dy = (dy/dx) dx met y'(x) = dy/dx

Ik vermoed dat dit om een samengestelde functie gaat, y = f(u) met u = g(x).
Beschouw eerst gewoon y = f(u) als een functie met de differentiaal zoals hierboven:

dy = (dy/du) du

Maar ook u is een functie want u = g(x), dus du kan je ook als differentiaal schrijven:

du = (du/dx) dx

Waarin nu u'(x) = du/dx, dus samen geeft dit

dy = (dy/du) (du/dx) dx

Nu komt de "kracht" van de notatie weer boven. Hoewel het geen echte breuken zijn, gedragen ze zich hier wel zo omdat je de du kan "schrappen", er geldt dus ook: dy = (dy/dx) dx.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 11 november 2009 - 15:12

OK, dat zie ik nu in.
Klopt het dan ook dat
LaTeX

mits we in acht nemen dat er eigenlijk een dubbel gebruik van dz is omdat er in het linkerlid als argument a optreedt bij dz en in het rechterlid f(a)?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 november 2009 - 15:16

Ja, maar niet als argumenten bij dz, maar bij resp. dz/dx en dz/dy.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 11 november 2009 - 15:24

Akkoord, dat heb ik begrepen.

Nu staat er verder, bij differentialen van hogere orde het volgende in de cursus:

Daarom maken we de volgende afspraken:
 in ieder punt x neemt men dezelfde aangroeiing dx = Δx. Men mag dus bij de tweede differentiatie
dx constant nemen;
 bij de tweede differentiatie neemt men dezelfde dx = Δx als bij de eerste differentiatie.

En dat begrijp ik weer niet.

Kan u dat ook verduidelijken? Bedankt!
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#12

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 11 november 2009 - 17:29

Ik ben wel benieuwd hoe die cursus differentialen precies definieert. Kan je een link geven of de relevante passage hier plaatsen?

#13

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 11 november 2009 - 17:37

http://homepages.vub...pe/analyse1.pdf

p. 63

Veranderd door In fysics I trust, 11 november 2009 - 17:38

"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#14

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 11 november 2009 - 18:18

http://homepages.vub...pe/analyse1.pdf

p. 63


De cursus gebruikt de definitie die in de onderstaande link nader wordt uitgelegd:

http://books.google....j...;q=&f=false

[Een opmerking voor de volledigheid: oneindig kleine getallen komen inderdaad in het systeem van de reŽle getallen niet voor, maar er zijn andere getallensystemen waarin ze wel bestaan.]





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures