Schrappingwet en groep

Box

Uit (V,o) is een groep volgt dat voor deze verzameling en de erop gedefinieerde bewerking de schrappingswetten gelden.

Als de schrappingswetten gelden voor een bepaalde verzameling en bewerking, volgt daar dan uit die structuur een groep is?

Ik denk van niet: tegenvoorbeeld: Stel V={2^n | n is een natuurlijk getal en niet nul}

(V,*) is geen groep, 't is een semigroep, en de schrappingswetten gelden...

Klopt m'n tegenvoorbeeld?

Phys

Je zegt niet wat * is, waarschijnlijk de standaard vermenigvuldiging van natuurlijke getallen? Inderdaad is dit een tegenvoorbeeld. Er zijn ontzettend veel tegenvoorbeelden te geven.

De (omgekeerde) bewering "Als de schrappingswetten gelden voor een bepaalde verzameling en bewerking, volgt dat die structuur een groep is" kan ook haast net waar zijn als je je het volgende bedenkt:

Een groep is een verzameling met een bewerking die aan drie eigenschappen voldoet (associativiteit, ieder element heeft inverse, er is een neutraal element). Om de 'schrappingswetten' te bewijzen gebruik je niet al die eigenschappen, dus de 'schrappingswet' kan geen karakterisatie voor een groep zijn.

Box

Ik dacht dat je wel al die eigenschappen nodig had:

a*b=a*c => a^-1 * (a * b) =a^-1 * (a* c) (inverse bestaat) => (a^-1 * a) * b =(a^-1 * a)* c (associativiteit) => e * b = e * c (eenheidselement) => b = c

Dat zijn ze toch? O, ja en * is een binaire bewerking...

Box

Box schreef:* is een binaire bewerking

a*b=a*c => a^-1 * (a * b) =a^-1 * (a* c) (inverse bestaat) => (a^-1 * a) * b =(a^-1 * a)* c (associativiteit) => e * b = e * c (eenheidselement) => b = c

Mocht ik mij niet klaar hebben uitgedrukt:

hierboven bewees ik dat als (V,*) een groep is, dat dan de schrappingswet geldt. Ik gebruikte hierbij de volledige set eigenschappen van een groep. Geldt deze eigenschap dan ook omgekeerd? Omgekeerd kunt ge toch niet zeker zijn dat al deze eigenschappen gelden, als de schrappingswet geldt? Is mijn bovenstaand tegenvoorbeeld DAAR een goed voorbeeld van?

Groeten Box

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Schrappingwet en groep

Schrappingwet en groep

Re: Schrappingwet en groep

Re: Schrappingwet en groep

Re: Schrappingwet en groep