Springen naar inhoud

Span


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Tudum

    Tudum


  • >250 berichten
  • 412 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 november 2009 - 11:21

Hallo,

ik snap niet helemaal wat de span is bij lineaire algebra.

In mijn cursus staat:

Stel dat S een niet-ledige deelverzameling is van V. De span van S wordt gedefinieerd als de verzameling van alle lineaire combinaties van elementen uit S en wordt als span(S) genoteerd. Als S = leeg, dan is span(S) = 0, en als S = {v} dan is span (S) = Kv.


Hoe kan het dat de span van een lege verzameling de nulvector is? Je kan toch geen lineaire combinatie nemen van niets?

En er staat ook nog dit:

Voor elke niet-ledige S deelverzameling van V gelden volgende eigenschappen:
- span(S) is een deelruimte van V
- span(S) is de kleinste deelruimte van V die S omvat, maw als W deelruimte is van V en S deelverzameling van W, dan zal ook span(S) een deelruimte zijn van W.


De span van S is dus een deelruimte van V, en dus ook een deelverzameling van V. Er is gegeven dat S ook een deelverzameling is van V. EEN deelverzameling, dus S kan ook gelijk zijn aan V. Dat betekent dan dat de span van S een deelverzameling is van S. En gezien de Span van S de verzameling is van alle lineaire combinaties van elementen uit S, dus alle elementen + de lineaire combinaties daarvan, zie ik geen andere mogelijkheid dan dat de span van S gelijk is aan S?

En dat lijkt me raar. Ik vrees dus dat ik ergens een fout(/meerdere fouten) gemaakt heb, maar ik vind niet waar...

En dan zit ik ook nog vast met één van de voorbeeldjes die op wikipedia staan:

The real vector space R3 has {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} as a spanning set. This spanning set is actually a basis.


Dat zijn toch gewoon drie vectoren, en niet de verzameling van alle lineaire combinaties van elementen uit R³?
Vroeger Laura.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Stvn

    Stvn


  • 0 - 25 berichten
  • 10 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 15 november 2009 - 13:59

Dat zijn toch gewoon drie vectoren, en niet de verzameling van alle lineaire combinaties van elementen uit R³?


Span{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}= a(1,0,0) + b(0,1,0) + c(0,0,1) = R³ met a,b,c elementen van R

Het is ook een basis aangezien {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} een spanning set (voortbrengend) is en vrij (lineair onafhankelijk) is.

Dus met lineaire combinaties van de vectoren (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) kan je heel R³ bekomen.

#3

Tudum

    Tudum


  • >250 berichten
  • 412 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 november 2009 - 14:05

Span{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}= a(1,0,0) + b(0,1,0) + c(0,0,1) = R³ met a,b,c elementen van R


Ah :eusa_whistle:. Met die a, b en c erbij zie ik het inderdaad, maar zoals het op Wikipedia staat is het toch gewoon de verzameling van die drie vectoren?

bv. V = {x, y, z} is toch ook gewoon de verzameling van 3 elementjes die x, y en z heten, en niet ax, by en cz? Of heb ik dat verkeerd begrepen?

Bedankt voor uw reactie!

Veranderd door Laura., 15 november 2009 - 14:06

Vroeger Laura.

#4

Stvn

    Stvn


  • 0 - 25 berichten
  • 10 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 15 november 2009 - 14:43

Stel D={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} dan is D een deelverzameling van de vectorruimte R³ en ook een voortbrengend deel van R³. Op wikipedia noemen ze het een spanning set van R³. De deelruimte voortgebracht of opgesnannen door D is de kleinste deelruimte van R³ die D omvat. In dit geval dus R³ zelf.



bv. V = {x, y, z}


Als je nu bv. zegt x,y,z zijn elementen van R dan is V = R³ en dus een vectorruimte, een verzameling van alle vectoren die tot R³ behoren. (2,-4,5) is bv. een vector van R³ en met de vectoren kan je bewerkingen uitvoeren, lineaire combinaties, waarvan de uitkomst nog steeds een vector moet zijn van R³, anders zou het geen vectorruimte zijn.

Hopelijk is het een beetje duidelijk :eusa_whistle:

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24095 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 november 2009 - 17:44

Hoe kan het dat de span van een lege verzameling de nulvector is? Je kan toch geen lineaire combinatie nemen van niets?

Men stelt gewoonlijk, per definitie, een lineaire combinatie van nul vectoren (de "triviale lineaire combinatie") gelijk aan de nulvector.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures