Kettingregel bij vectorieel afgeleiden

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Kettingregel bij vectorieel afgeleiden

\(\frac{d}{ds} ( \frac{ \bar{r}}{dt} )\)
Hoe bereken je dit?

Blijkbaar moet je de kettingregel daarop toepassen, maar ik zie niet in hoe je dit concreet doet?

(vector r is de plaatsvector, ds² de booglengte en t de tijd)

Alvast bedankt!
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.609

Re: Kettingregel bij vectorieel afgeleiden

Je weet bijvoorbeeld dat ds/dt = v (modulus van de snelheid), daar kan je misschien iets mee doen.

Het zou helpen moest je zeggen waar dit precies staat in de cursus Mechanica.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: Kettingregel bij vectorieel afgeleiden

p. 28:

de eerste stap is het toepassen van de afgeleide van een product, dan krijg ik het linkerlid in orde, maar met het rechterlid strand ik op het bovenstaande ;-(
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.

Berichten: 503

Re: Kettingregel bij vectorieel afgeleiden

Die uitdrukking heeft zelfs geen betekenis lijkt mij... Mis je nergens geen differentiaal in de teller? iets van dr/dt?

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: Kettingregel bij vectorieel afgeleiden

Het was een deeltje dat ik tegenkwam bij het uitwerken van
\(\frac{d}{ds} ( \frac{d \bar{r}}{ds} )\)
Dus als iemand deze opgave wel weet uit te werken (een hint of zo...), helpt dat ook al veel!

Bedankt!
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.

Berichten: 771

Re: Kettingregel bij vectorieel afgeleiden

Ik zou het zo ongeveer doen:
\(\frac{d}{ds} ( \frac{d \bar{r}}{ds} ) = \frac{d}{ds} ( \frac{d \bar{r}}{dt}\frac{ds}{dt} )\)
Dit zijn dingen die je vaak beter kent

Dan productregel, en met beetje geluk heb je dan dingen die je kan vindenµ

Welke opgave is het ofzo (misschien vind ik men oefeningenbundel nog...)

(Mechanica oefeningen is vaak geluk hebben :eusa_whistle: )

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: Kettingregel bij vectorieel afgeleiden

Sorry, ik zie je stap niet...

Is het niet:
\(\frac{d}{ds} ( \frac{d \bar{r}}{ds} ) = \frac{d}{ds} ( \frac{d \bar{r}}{dt}\frac{dt}{ds} )\)
?
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.

Berichten: 8.614

Re: Kettingregel bij vectorieel afgeleiden

LaTeX-tip: je kunt haakjes aanpassen aan wat ertussen staat. Gebruik de commando's \left( en \right:
\(\frac{d}{ds} \left(\frac{d \bar{r}}{ds}\right) = \frac{d}{ds} \left(\frac{d \bar{r}}{dt}\frac{dt}{ds}\right)\)
Geloof niet alles wat je leest.


Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!

Gebruikersavatar
Berichten: 2.609

Re: Kettingregel bij vectorieel afgeleiden

In fysics I trust schreef:Het was een deeltje dat ik tegenkwam bij het uitwerken van
\(\frac{d}{ds} ( \frac{d \bar{r}}{ds} )\)
Dus als iemand deze opgave wel weet uit te werken (een hint of zo...), helpt dat ook al veel!

Bedankt!
Ik zie niet wat je probleem is, de uitwerking staat er gewoon bij op p28. Binnen de haken wordt de kettingregel toegepast zodat je hetvolgende krijgt:
\(\frac{d}{ds} \left(\frac{d \bar{r}}{ds}\right) = \frac{d}{ds} \left(\frac{d \bar{r}}{dt}\frac{dt}{ds}\right)\)
en dat werk je dan (zoals ook in het boek staat) uit met de productregel voor afgeleiden

De cursus is toch vrij duidelijk? Ik heb er zelf geen aantekeningen bij dus dat betekent dat ik alles zo kon volgen

Berichten: 771

Re: Kettingregel bij vectorieel afgeleiden

In fysics I trust schreef:Sorry, ik zie je stap niet...

Is het niet:
\(\frac{d}{ds} ( \frac{d \bar{r}}{ds} ) = \frac{d}{ds} ( \frac{d \bar{r}}{dt}\frac{dt}{ds} )\)
?
Oops, je hebt natuurlijk gelijk , was typfoutje ^^

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: Kettingregel bij vectorieel afgeleiden

Dat begrijp ik wel, maar het is bijvoorbeeld
\(\frac{d}{ds} \left( \frac{ \bar{r}}{dt} \right)\)
dat ik niet uitgewerkt krijg. Iets elementair, maar ik zie het toch niet.
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.609

Re: Kettingregel bij vectorieel afgeleiden

In fysics I trust schreef:Dat begrijp ik wel, maar het is bijvoorbeeld
\(\frac{d}{ds} \left( \frac{ \bar{r}}{dt} \right)\)
dat ik niet uitgewerkt krijg. Iets elementair, maar ik zie het toch niet.


Om te beginnen moet je in je haken
\(d\overrightarrow{r}\)
zetten en niet gewoon
\(\overrightarrow{r}\)

\(\overrightarrow{r}(t) = \left( x(t) , y(t) , z(t) \right )\)


Dus
\(\frac{d}{dt}\overrightarrow{r}(t) = \left( \frac{d}{dt}x(t) , \frac{d}{dt}y(t) , \frac{d}{dt}z(t) \right )\)


Dus
\(\frac{d}{ds}\left(\frac{d}{dt}\overrightarrow{r}(t)\right ) = \left( \frac{d}{ds}\left(\frac{d}{dt}x(t)\right ) , \frac{d}{ds}\left(\frac{d}{dt}y(t)\right ) , \frac{d}{ds}\left(\frac{d}{dt}z(t)\right ) \right )\)


Heb je dat niet geleerd in wiskundige technieken?

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: Kettingregel bij vectorieel afgeleiden

Wiskundige technieken: je bedoelt partieel afleiden?

Hoe ziet zo één component
\( \left( \frac{d}{ds}\left(\frac{d}{dt}x(t)\right ) \)
eruit?
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.609

Re: Kettingregel bij vectorieel afgeleiden

In fysics I trust schreef:Wiskundige technieken: je bedoelt partieel afleiden?

Hoe ziet zo één component
\( \left( \frac{d}{ds}\left(\frac{d}{dt}x(t)\right ) \)
eruit?
Partieel afgeleiden maar eigenlijk afleiden algemeen.
\( \left( \frac{d}{ds}\left(\frac{d}{dt}x(t)\right ) \)
is gewoon een wiskundige uitdrukking zoals ze daar staat. Je kan daar verschillende trucs op toepassen. Afleiden naar s is bijvoorbeeld lastig als je de functie enkel kent in functie van de tijd, maar je kan bijvoorbeeld de kettingregel weer toepassen met dan de wetenschap dat ds/dt = v.
\(\frac{d}{dt}x(t) = \dot x(t)\)
dat is gewoon zo en daar kan je algemeen weinig aan verderrekenen, je kan het schrijven als x met een puntje omdat dat je notatie verkort.

Dan krijg je:
\(\frac{d}{ds}\left(\dot x(t)\right) = \frac{d}{dt}\frac{dt}{ds}\left(\dot x(t)\right) = \frac{d}{dt}\frac{1}{\frac{ds}{dt}}\left(\dot x(t)\right) = \frac{d}{dt}\frac{1}{v}\left(\dot x(t)\right)\)
Ik weet niet juist in hoeverre dit correct blijft als je dan die 1/v voorop gaat plaatsen en dan van x dot, x dubbeldot maakt, maar dat maakt allemaal niet uit.

De studie die je volgt vereist een vrij hoog abstractievermogen en veel dingen die je tegenkomt kan je je niet zomaar aan de hand van simpele voorbeelden voorstellen. Soms moet je abstract kunnen denken en aanvaarden dat iets waar is.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: Kettingregel bij vectorieel afgeleiden

Wat hierboven staat, begrijp ik allemaal wel, maar ik weet nog steeds niet hoe je overgaat van
\(\frac{d}{ds} ( \frac{d \bar{r}}{ds} ) = \frac{d}{ds} ( \frac{d \bar{r}}{dt}\frac{dt}{ds} )\)
naar
\(\left( \frac {d^2t}{ds^2} \right) \frac{d \bar{r}}{dt} \)
+
\(\left( \frac {dt}{ds} \right)^2 \frac{d^2 \bar{r}}{dt^2^} \)
Kan je me daar ook bij helpen?

Nogmaals bedankt!
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.

Reageer