Springen naar inhoud

Formule van taylor


  • Log in om te kunnen reageren

#1

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 15 november 2009 - 21:45

http://homepages.vub...pe/analyse1.pdf

p. 61

Hier wordt de formule van Taylor afgeleid voor een veelterm. Als ik het goed begrijp kan je een veelterm met de formule exact herschrijven door:Geplaatste afbeelding

p. 72

De formule van Taylor wordt hernomen.
Men breidt het idee nu uit voor willekeurige functies. Daarbij is de Taylorveelterm niet meer exact hetzelfde, maar een benadering, die dezelfde waarde heeft in a, en dezelfde eerste n afgeleiden.
De functie wordt dus benaderd in a door een veelterm, maar vanaf de n+1-de afgeleide, is de benadering niet meer exact, waarbij er dus een restterm r(x) in rekening moet gebracht worden die de fout aangeeft, met andere woorden het verschil tussen de i-de afgeleide van de functiewaarde en de benadering Pn(i)(a). Voor de eerste i afgeleiden is de restterm dus 0.

Is dat de redenering die gemaakt wordt?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24050 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 november 2009 - 22:03

p. 61

Hier wordt de formule van Taylor afgeleid voor een veelterm. Als ik het goed begrijp kan je een veelterm met de formule exact herschrijven door:Geplaatste afbeelding

Klopt.

p. 72

De formule van Taylor wordt hernomen.
Men breidt het idee nu uit voor willekeurige functies. Daarbij is de Taylorveelterm niet meer exact hetzelfde, maar een benadering, die dezelfde waarde heeft in a, en dezelfde eerste n afgeleiden.
De functie wordt dus benaderd in a door een veelterm, maar vanaf de n+1-de afgeleide, is de benadering niet meer exact,

Dit is een beetje raar verwoord. Je kan de Taylorveelterm opstellen tot een graad n naar keuze, voor zover de afgeleiden bestaan. Het is dus niet zo dat de "benadering" opeens "niet exact wordt", "vanaf afgeleide n+1"; die formulering vind ik trouwens vreemd...

waarbij er dus een restterm r(x) in rekening moet gebracht worden die de fout aangeeft, met andere woorden het verschil tussen de i-de afgeleide van de functiewaarde en de benadering Pn(i)(a).

Niet tussen de i-de afgeleide, maar tussen f(x) en zijn n-de orde Taylorbenadering.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 15 november 2009 - 22:07

Bedankt!

Dus:

Zo'n Taylorbenadering kan je dus opstellen tot op een willekeurige graad zolang er afgeleiden bestaan, en tot op die graad is de restterm 0?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24050 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 november 2009 - 22:11

Zo'n Taylorbenadering kan je dus opstellen tot op een willekeurige graad zolang er afgeleiden bestaan,

Ja.

en tot op die graad is de restterm 0?

Geen idee wat je hiermee bedoelt...

Voor elk natuurlijk getal n kan je voor f(x) een Taylorveelterm van graad n opstellen, voor zover de functie voldoende vaak afleidbaar is. Voor elke n, is het verschil tussen f(x) en zijn Taylorveelterm van orde n, de restterm van n-de orde. Indien die restterm voor een zekere orde 0 is, dan is de bijbehorende Taylorveelterm precies gelijk aan f(x).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 15 november 2009 - 22:27

Geen idee wat je hiermee bedoelt...


p. 73
http://homepages.vub...pe/analyse1.pdf

Derhalve geldt voor de restterm:...


Het was dit idee dat ik probeerde te herformuleren in mijn eigen woorden om te zienof ik het wel begrepen had...
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#6

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 15 november 2009 - 22:40

p. 73
http://homepages.vub...pe/analyse1.pdf


Het was dit idee dat ik probeerde te herformuleren in mijn eigen woorden om te zienof ik het wel begrepen had...


't is wat laat, de pdf opent niet en ik heb het boek hier niet zo direct liggen, maar het komt erop neer dat je restterm steeds kleiner wordt als je orde hoger wordt.

Dus als n naar oneindig gaat, dan zal je restterm naar 0 gaan.

Tip voor het examen: Rolle,Leibniz en Taylor en de grondformule van de integraalrekening en de stelling daarvoor zijn zo zijn favoriete vragen. Ik durf te wedden dat je minstens 2 van die vragen op je examen krijgt :eusa_whistle:

#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24050 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 november 2009 - 22:40

Dan begrijp ik je niet goed, of je herformuleert het niet goed...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#8

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 15 november 2009 - 23:06

@Xenion: belangrijk dus dat ik het grondig begrijp ;-)

@TD: het ging om het stukje (zie bijlage)

Bijgevoegde Bestanden

  • Bijlage  Doc1.pdf   90,15K   58 maal gedownload
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24050 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 november 2009 - 23:09

Ik weet over welk stuk je het hebt, maar ik begrijp niet wat jij ervan maakt...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#10

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 15 november 2009 - 23:38

Ik probeer het nog eens:

1. We benaderen een willekeurige functie met een Taylorveelterm in een punt a. OK?
2. We kunnen deze veelterm tot op graad n ontwikkelen. Dan is de functiewaarde in het punt a gelijk aan de functiewaarde van de veelterm. Ook de eerste n afgeleiden zijn gelijk in dat punt a. OK?
3. Daarom geldt voor die eerste n veeltermen dat de bijhorende restterm in dat punt a 0 bedraagt. OK?

Is dit correct, of zit ik er nog steeds naast?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24050 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 november 2009 - 23:46

3. Daarom geldt voor die eerste n veeltermen dat de bijhorende restterm in dat punt a 0 bedraagt. OK?

In dat punt, zijn de functiewaarden en eerste n afgeleiden gelijk; dus is de restterm inderdaad 0. Misschien bedoelde je dat met "Voor de eerste i afgeleiden is de restterm dus 0.", maar dat was mij niet duidelijk (toch niet erg goed geformuleerd dan).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#12

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 15 november 2009 - 23:50

M.a.w. :dat is dus net de pointe: dat een benadering lokaal in een punt wordt genomen?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24050 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 november 2009 - 23:53

Inderdaad, je ontwikkelt f(x) in reeks rond een punt x = a. De functie en zijn Taylorveelterm van orde n, en de eerste n afgeleide functies, vallen samen in x = a en in die gevallen is de restterm dus 0.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#14

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 15 november 2009 - 23:57

Alweer erg bedankt!
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#15

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24050 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 november 2009 - 23:59

Okť, graag gedaan.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures