Pagina 1 van 1
Oneindig ode systeem
Geplaatst: wo 18 nov 2009, 12:30
door dirkwb
Ik wil het volgende stelsel oplossen:
\( \dot{x}_i = \sum_{ n=1}^{\infty} a(n,i) x_n +b(n,i) y_n \)
\( \dot{y}_i = \sum_{ n=1}^{\infty} c(n,i) x_n +d(n,i) y_n \)
met a,b,c en d reele constantes afhankelijk van n en i, verder geldt: i =1,2,...
Hoe los ik zoiets op?
Re: Oneindig ode systeem
Geplaatst: wo 18 nov 2009, 15:40
door PeterPan
Schrijf het stelsel in de vorm van een matrixvergelijking.
Re: Oneindig ode systeem
Geplaatst: wo 18 nov 2009, 15:57
door dirkwb
Schrijf het stelsel in de vorm van een matrixvergelijking.
Dan krijg je een oneindig grote matrix. Hoe moet je dan verder?
Re: Oneindig ode systeem
Geplaatst: wo 18 nov 2009, 20:25
door PeterPan
Als
\(x' = Ax\)
, dan is
\(x = e^{Ax}\)
.
Dat geldt ook als A een oneindige matrix is.
Re: Oneindig ode systeem
Geplaatst: do 19 nov 2009, 11:03
door dirkwb
PeterPan schreef:Als
\(x' = Ax\)
, dan is
\(x = e^{Ax}\)
.
Dat geldt ook als A een oneindige matrix is.
Ik neem aan dat je bedoelt :
\(x = e^{At}\)
Maar normaal bepaal je de eigenwaardes en eigenvectoren, maar hier moet dus
\(x = e^{At}\)
uitgeschreven worden in een reeks?
Re: Oneindig ode systeem
Geplaatst: do 19 nov 2009, 14:43
door PeterPan
Ja, je kunt de machtreeks van exp daarvoor gebruiken.
Re: Oneindig ode systeem
Geplaatst: do 19 nov 2009, 16:02
door dirkwb
De eerste twee termen zijn nog te berekenen, maar zodra je een matrixvermenigvuldiging moet uitvoeren wordt het onmogelijk. Weet je of er nog andere manieren zijn om dit aan te pakken?
Re: Oneindig ode systeem
Geplaatst: do 19 nov 2009, 18:06
door PeterPan
Een exaxte oplossing zal uitzonderliijk zijn, als je bedenkt dat de differentiaalvergelijking
\(x^{(101)} +2x^{(78)} +5x' + 9x = 0\)
ook in die vorm te schrijven is, ja zelfs met slechts eindig veel niet-nul coëfficienten.
Als die matrix niet eenvoudig te diagonaliseren is heb je een probleem.
Oneindige matrices diagonaliseren is een kunst op zich, als je bedenkt dat bij oneindige matrices de linker en rechter inverse kunnen verschillen.
De matrix moet aan bepaalde eisen voldoen. Je begeeft je dan in de functionaalanalyse.
Re: Oneindig ode systeem
Geplaatst: do 19 nov 2009, 19:07
door dirkwb
PeterPan schreef:Een exaxte oplossing zal uitzonderliijk zijn, als je bedenkt dat de differentiaalvergelijking
\(x^{(101)} +2x^{(78)} +5x' + 9x = 0\)
ook in die vorm te schrijven is, ja zelfs met slechts eindig veel niet-nul coëfficienten.
Ok, dat wist ik niet.
Als die matrix niet eenvoudig te diagonaliseren is heb je een probleem.
Oneindige matrices diagonaliseren is een kunst op zich, als je bedenkt dat bij oneindige matrices de linker en rechter inverse kunnen verschillen.
De matrix is niet eenvoudig te diagonaliseren vanwege die vervelende a's,b's, c's en d-'tjes die afhankelijk zijn van n en i.
De matrix moet aan bepaalde eisen voldoen. Je begeeft je dan in de functionaalanalyse.
Ik heb hierover enkele dingen gevonden (zie link hieronder), echter ze beschrijven de eigenschappen die nodig zijn om het bestaan van een oplossing te bevestigen.
http://rapidshare.com/files/309302431/papers.rar
Dus als ik het goed begrijp zal ik geen exacte beschrijving kunnen vinden.