Springen naar inhoud

Analytische meetkunde


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Shari1985

    Shari1985


  • 0 - 25 berichten
  • 24 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 20 november 2009 - 13:26

Hallo,

Ik doe een poging om zelfstandig analytische meetkunde te leren, maar zo alleen geraak ik niet ver dus ik hoop met een "klankbord" vooruit te geraken.

Bij de vergelijking van een parabool kom ik op twee verschillende vergelijkingen, nl. de topvergelijking y2 = 4px en de Cartesiaanse vergelijking y2 = 2px. Door ze uit te rekenen hoopte ik op een antwoord te komen, maar ik weet niet wat in te vullen bij die p? Die staat voor parameter, maar wanneer heb je die bij een gewone parabool? En als ik een willekeurig punt op een parabool invul zal ze niet bij beide vergelijkingen uitkomen.

Ook wordt een willekeurig punt soms weergegeven als (x0,y0), waarvoor staat die 0?

Vervolgens heb ik ook nog de vergelijking van een raaklijn aan een parabool met willekeurige top T(xt,yt) in P(x0,y0): (y0-yt) (y-yt)-p (x+x0-2 xt)=0. Waar staan hier de x en y nog voor als de ene de top voorstelt en de ander een willekeurig punt? :eusa_whistle:


Bedankt....

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 november 2009 - 13:49

Bij de vergelijking van een parabool kom ik op twee verschillende vergelijkingen, nl. de topvergelijking y2 = 4px en de Cartesiaanse vergelijking y2 = 2px. Door ze uit te rekenen hoopte ik op een antwoord te komen, maar ik weet niet wat in te vullen bij die p? Die staat voor parameter, maar wanneer heb je die bij een gewone parabool? En als ik een willekeurig punt op een parabool invul zal ze niet bij beide vergelijkingen uitkomen.

Die p is een parameter die de breedte bepaalt. Voor elke p heb je een andere parabool met dezelfde top, maar "breder" of "smaller".

Ook wordt een willekeurig punt soms weergegeven als (x0,y0), waarvoor staat die 0?

Dat is een index om het onderscheid te maken met de variabelen x en y. Als je later meer (vaste) punten nodig hebt, kan je verder nummeren met 1, 2, ...

Vervolgens heb ik ook nog de vergelijking van een raaklijn aan een parabool met willekeurige top T(xt,yt) in P(x0,y0): (y0-yt) (y-yt)-p (x+x0-2 xt)=0. Waar staan hier de x en y nog voor als de ene de top voorstelt en de ander een willekeurig punt? :eusa_whistle:

Dat zijn de variabelen, die blijven gewoon "x" en "y". De vergelijking van een rechte is immers van de vorm ax+by+c = 0, met a,b,c constanten en x,y je veranderlijken.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Shari1985

    Shari1985


  • 0 - 25 berichten
  • 24 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 20 november 2009 - 13:57

Die p is een parameter die de breedte bepaalt. Voor elke p heb je een andere parabool met dezelfde top, maar "breder" of "smaller".


Dat is een index om het onderscheid te maken met de variabelen x en y. Als je later meer (vaste) punten nodig hebt, kan je verder nummeren met 1, 2, ...


Dat zijn de variabelen, die blijven gewoon "x" en "y". De vergelijking van een rechte is immers van de vorm ax+by+c = 0, met a,b,c constanten en x,y je veranderlijken.


Dus als ik een parabool heb met vergelijking y2=8x en een punt P(2,-4), hoe bereken ik dan de raaklijn met die formule?

#4

Overdruk

    Overdruk


  • >100 berichten
  • 214 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 november 2009 - 14:02

Hoi

Vooreerst vind ik het heel moedig dat je je inspant en op je eentje probeert wiskunde te beoefenen zonder al te veel voorkennis. Dat is zeldzaam dezerdagen! :eusa_whistle:

Bij de vergelijking van een parabool kom ik op twee verschillende vergelijkingen, nl. de topvergelijking y2 = 4px en de Cartesiaanse vergelijking y2 = 2px. Door ze uit te rekenen hoopte ik op een antwoord te komen, maar ik weet niet wat in te vullen bij die p? Die staat voor parameter, maar wanneer heb je die bij een gewone parabool? En als ik een willekeurig punt op een parabool invul zal ze niet bij beide vergelijkingen uitkomen.


Voor zover ik weet is de meest courante topvergelijking LaTeX
Cogito ergo sum.

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 november 2009 - 14:05

Dus als ik een parabool heb met vergelijking y2=8x en een punt P(2,-4), hoe bereken ik dan de raaklijn met die formule?

In dat geval is de top (0,0), pas je formule toe.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#6

Shari1985

    Shari1985


  • 0 - 25 berichten
  • 24 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 20 november 2009 - 14:28

In dat geval is de top (0,0), pas je formule toe.


Vergelijking van een raaklijn aan een parabool met willekeurige top T(xt,yt) in P(x0,y0): (y0-yt) ∑ (y-yt)-p ∑ (x+x0 - 2 ∑ xt)=0.

Vergelijking is y2=8x => p=4

Punt P(2,-4)
Top (0,0)

Dat wordt dan:

(-4-0) (y-0) -4(x+2-20)=0

-4y-4x-8=0

-4y=4x+8

y=(4x+8)/4=-x-2

Dit kwam ik ook uit met de eerste afgeleide.

Wat een ingewikkelde formule om te onthouden. Hoe geraak ik van deze naar die makkelijkere Overdruk?

#7

Shari1985

    Shari1985


  • 0 - 25 berichten
  • 24 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 20 november 2009 - 14:35

Dus van een vergelijking van een raaklijn aan een parabool met willekeurige top LaTeX in LaTeX

naar

LaTeX

Ik zie dat de topcoŲrdinaten zijn weggevallen, waarom?

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 november 2009 - 14:50

Omdat die formule enkel geldt als de oorsprong de top is. Je geraakt terug aan de algemene formule door van elke y de y-coŲrdinaat van de top af te trekken en idem voor x.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

Shari1985

    Shari1985


  • 0 - 25 berichten
  • 24 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 20 november 2009 - 16:04

Nog een vraagje: liggen de brandpunten van een ellips altijd op afstand b van het middelpunt? (waarbij 2b dus de verticale lengte vd ellips is).

#10

Overdruk

    Overdruk


  • >100 berichten
  • 214 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 november 2009 - 17:08

Nee, de brandpunten van een ellips liggen zeker niet in het algemeen op een afstand b van het middelpunt...

Kijk maar eens naar de figuren hier.

Als ik het goed voor heb, is de afstand tussen het middelpunt en een brandpunt van de ellips gelijk aan:
LaTeX
Dus als c = b dan geldt:
LaTeX
LaTeX

Dus alleen als aan die voorwaarde voldaan is, is b = c.

Veranderd door Overdruk, 20 november 2009 - 17:13

Cogito ergo sum.

#11

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 20 november 2009 - 18:02

Wat een ingewikkelde formule om te onthouden. Hoe geraak ik van deze naar die makkelijkere Overdruk?

Je wil deze formule kunnen onthouden?
Kijk eens naar de volgende vb:
1. y≤=2x, we willen de raaklijn in (2,2) (merk op dat dit een punt van de par is).
De procedure is 'half invullen'.
Schrijf: y*y=x+x
Vul nu in: voor ťťn van de y's 2 en voor een van de x'n 2.
Dus: 2y=x+2 of y=1/2x+1. Ga na dat dit klopt door de par en raaklijn te tekenen.
2. y≤=2x+1. raaklijn in (4,3)
y*y=x+x+1
raaklijn: 3y=x+5 of y=1/3x+5/3, controleer.
(y-2)≤=3(x-1), raaklijn in (4,-1)
Schrijf: (y-2)(y-2)=3(1/2x+1/2x-1),
Dus: (-1-2)(y-2)=3(1/2*4+1/2x-1), of -3y=3/2x-3 of y=-1/2x+1, controleer.

#12

Shari1985

    Shari1985


  • 0 - 25 berichten
  • 24 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 21 november 2009 - 11:55

Al bedankt voor de antwoorden allemaal. Soms zijn het wat stomme vragen, maar als je zo alleen naar formules zit te staren heb je wat bevestiging nodig.

Ondertussen heb ik een eerste oefening opgelost, en graag zou ik weten of hij juist is?

Vraag: Bepaal de vergelijkingen van de raaklijn en de normaal in het P met eerste coŲrdinaat 2 van de kromme met vergelijking LaTeX

Oplossing: Bij invulling wordt het tweede coŲrdinaat van P 2, dus P(2,2).
Dan bereken ik de rico van de raaklijn met de eerste afgeleide. LaTeX

Hierbij vul ik x in en dan krijg ik LaTeX .

De voorwaarde van loodrechte stand is LaTeX en dus is de rico van de normaal LaTeX

De vergelijking van een rechte is LaTeX waarbij b na uitrekenen gelijk is aan 6 en dus de vergelijking van de raaklijn: LaTeX

De vergelijking van de normaal is, na invullen van de rico en het vinden van LaTeX , LaTeX

Ben ik juist? :eusa_whistle:

#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 november 2009 - 12:32

Allereerst: er zijn twee punten aan de ellips met x-coŲrdinaat 2...

Voor de ene is je rico juist, maar ik vind dan b = 10 i.p.v. b = 6.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#14

Shari1985

    Shari1985


  • 0 - 25 berichten
  • 24 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 21 november 2009 - 12:54

Allereerst: er zijn twee punten aan de ellips met x-coŲrdinaat 2...

Voor de ene is je rico juist, maar ik vind dan b = 10 i.p.v. b = 6.


Argh, de typische vergetelheid...: de punten aan de ellips met als eerste coŲrdinaat zijn P1(2,2) en P2(2,-2).

De rico blijft 4 voor beide punten. Dit geeft dus de volgende twee raaklijnen. T1: LaTeX en T2: LaTeX .

Doordat er twee raaklijnen zijn, zijn er ook twee normalen (toch in dit geval want raaklijnen zijn niet evenwijdig aan elkaar), nl. N1: LaTeX en N2: LaTeX .

#15

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 november 2009 - 13:01

De rico zal niet hetzelfde zijn voor die twee raaklijnen (en dus ook niet voor de normalen).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures