Springen naar inhoud

Lineaire algebra: q-vectorruimte van lineaire afbeeldingen.


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Overdruk

    Overdruk


  • >100 berichten
  • 214 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 november 2009 - 13:34

Dag allemaal


Lang geleden dat ik hier nog eens gepost had, hierbij ben ik er dus weer. :eusa_whistle:

Het gaat over de volgende vraag:

Zij LaTeX en LaTeX de verzameling van alle afbeeldingen LaTeX van LaTeX
naar LaTeX met volgende voorwaarde:

LaTeX .



(i) Toon aan dat V een Q-vectorruimte is, driedimensionaal is en geef een basis voor V.

Voor het eerste dacht ik het volgende:
Aangezien alle afbeeldingen, afbeeldingen zijn naar Q, erven zij de eigenschappen van de optelling in Q over, waarmee aan de voorwaarde van de Abelse groep voor de optelling voldaan wordt.
De vermenigvuldiging met scalairen van Q en de distributiviteit volgt volgens mij ook gewoon uit het feit dat de afbeeldingen naar Q zijn?

Vervolgens zit ik een beetje vast op het aantonen dat de vectorruimte als dimensie 3 heeft.

Ik ben zo stout geweest om even bij de korte oplossing te gaan spieken en daar staat iets dat ik niet meteen kan vatten:

Definieer voor iedere LaTeX de volgende afbeelding:
LaTeX

Waarbij LaTeX de Krönecker delta is.

Vervolgens zeggen ze dat LaTeX een basis is voor de vectorruimte V. Waaruit je natuurlijk kan concluderen dat de dimensie 3 is.

Mijn vraag is nu: Als je zo'n afbeelding definieert (en ik veronderstel dan dat die afbeeldingen afbeeldingen f kunnen zijn vanuit de opgave??) dan voldoen deze afbeeldingen toch niet aan de voorwaarde die eerder gesteld was?
Er zal door die Kronecker delta als i = j 1 uitkomen... i.p.v. 0 bij de voorwaarde??

Waarschijnlijk zie ik het wel helemaal fout, maar moest er iemand de juiste manier zien, laat het even weten. ](*,)

Vervolgens snap ik dan ook niet waarom de door hen gegeven basis een basis is voor V.


Groetjes


Overdruk
Cogito ergo sum.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 november 2009 - 14:02

Om te tonen dat V een vectorruimte is, kan je eenvoudig nagaan dat als f, g in V zitten, dan ook pf+qg met p,q scalairen.

Voor die basis: je kan alvast intuďtief aanvoelen dat je het beeld van drie van de vier argumenten vrij kan kiezen (bijvoorbeeld f(1), f(2) en f(3)), maar dat daarmee f(4) vastligt zodat aan de voorwaarde voldaan is.
Schrijf eens uit wat de afbeeldingen uit de voorgestelde basis precies doen; ga na of je inziet dat functies die gevormd worden als lineaire combinatie van deze basisvectoren, inderdaad in V zitten.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Overdruk

    Overdruk


  • >100 berichten
  • 214 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 november 2009 - 14:39

Oké, voor het eerste dan:

Stel je hebt twee afbeeldingen LaTeX en je hebt LaTeX .

Dan zou moeten gelden:
LaTeX
Want je kan een willekeurig element van LaTeX afbeelden op een willekeurig element van LaTeX
en LaTeX want beide afbeeldingen zijn naar LaTeX ??

Is dat genoeg voor een bewijs? of?

De afbeeldingen
LaTeX ??
LaTeX
LaTeX
LaTeX ??

Of doe ik die 'aftrekking' verkeerd? :/

Tja... voor de andere is het dan analoog indien mijn definitie van die min juist is... ](*,)

En daaruit zie ik inderdaad dat die afbeeldingen tot V behoren...

Als je nu lineaire combinaties neemt van deze drie basisvectoren dan bekom je natuurlijk weer elementen van V
want anders was V geen vectorruimte... :/

Maar de vraag is, hoe zie ik dat dit een basis is... niet tegenstaande dat ik eigenlijk op het idee moest komen om zelf een basis te construeren. ;)

Ik zie nu ook wel dat LaTeX voor alle LaTeX en dat zal dan dat intuitief gevoel ondersteunen dat er 3 vrij te kiezen zijn en 1 altijd bepaald door de drie anderen, zeker?

'k Zie wel dat je dus 3 elementen van B op deze manier kan afbeelden op alle elementen van Q...

Als LaTeX dan moeten de LaTeX zijn.

Maar ik moet nu naar de kapper... ik denk straks wel verder... :eusa_whistle:


Groetjes


Overdruk
Cogito ergo sum.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 november 2009 - 15:02

Voor het bewijs van vectorruimte: je moet tonen dat die lineaire combinatie in V zit, dus aan die voorwaarde voldoet, door gebruik te maken van het feit dat f en g in V zitten.

Een langere reactie is voor later want ik zit hier nu op mobiel internet en dan is veel typen en zeker LaTeX heel omslachtig en tijdrovend :eusa_whistle:
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

Overdruk

    Overdruk


  • >100 berichten
  • 214 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 november 2009 - 02:28

De afbeelding LaTeX moet een element zijn van V omdat :

Voor f geldt: LaTeX zij LaTeX
en voor g geldt: LaTeX , beiden omdat LaTeX .

Dus geldt: LaTeX
Dit is de voorwaarde voor een element te zijn van de vectorruimte V.

Q.E.D.??

De rest van de eigenschappen voor vermenigvuldiging met scalairen enzo erft de ruimte toch van LaTeX ??
Cogito ergo sum.

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 november 2009 - 12:24

Dit is de voorwaarde voor een element te zijn van de vectorruimte V.

Inderdaad.

De afbeeldingen
LaTeX

??
LaTeX
LaTeX
LaTeX ??

Dit klopt, dus je hebt respectievelijk de beelden 1, 0, 0, -1. Voor die andere twee zijn dan 0,1,0,-1 en 0,0,1,-1.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Overdruk

    Overdruk


  • >100 berichten
  • 214 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 november 2009 - 02:36

Oké, als je nu om te bewijzen dat het een basis is, het opsplitst in twee delen:
namelijk ten eerste dat het een voortbrengend stel moet zijn en ten tweede een lineair onafhankelijk stel.

(i) lineair onafhankelijk

Er zou moeten gelden:
LaTeX
impliceert LaTeX .

tja... en dat is ook zo... als je de beelden zo opschrijft:

Dit klopt, dus je hebt respectievelijk de beelden 1, 0, 0, -1. Voor die andere twee zijn dan 0,1,0,-1 en 0,0,1,-1.


Voor geen enkele b is die som gelijk aan nul als de coëfficiënten niet nul zijn.

(ii)
Is er niet zo'n stelling die zegt dat als er een lineair onafhankelijk stel is in een vectorruimte met dimensie n en de kardinaliteit van het stel is n, dat dan het stel een basis is voor V?

Alleszins, dan zouden we eerst moeten aantonen dat de ruimte V driedimensionaal is... en zo staat het ook in de opgave, dat je eerst moet aantonen dat de ruimte driedimensionaal is...

(iii) voortbrengend stel

Een element van V is een lineaire afbeelding die een element van B afbeeldt op een willekeurig element van LaTeX . Als de kandidaat basis een voortbrengend stel zou zijn, dan zou elk element van V te schrijven zijn als lineaire combinaties van de elementen in het stel.

Is dit niet dezelfde vraag als: kan je met lineaire combinaties van het stel elk element van B afbeelden op een willekeurig element van LaTeX ??

Dit is ook zo, met elke b correspondeert een lineaire afbeelding uit de kandidaat basis waarmee deze b kan afgebeeld worden op elk element van LaTeX (door het vermenigvuldigen met een scalair uit Q, maar dat is dan een lineaire combinatie van de elementen uit het stel).

Dus is het stel voortbrengend en zoals we al van vorig puntje weten lineair onafhankelijk, dus is het een basis voor V.
Waaruit volgt dat de dimensie van V drie is.

Is dit genoeg voor een bewijs?



Dit is de voorwaarde voor een element te zijn van de vectorruimte V.


Inderdaad.



Bedoel je daarmee dat het een geldig bewijs is? Moet ik niets meer aantonen dan dat aan die voorwaarde voldaan is?



Nu de volgende vraag:
Hoe toon ik aan dat de ruimte driedimensionaal is zonder weet te hebben van die basis?


Groetjes


Overdruk
Cogito ergo sum.

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 22 november 2009 - 14:42

(i) lineair onafhankelijk

Er zou moeten gelden:
Bericht bekijken

(ii)
Is er niet zo'n stelling die zegt dat als er een lineair onafhankelijk stel is in een vectorruimte met dimensie n en de kardinaliteit van het stel is n, dat dan het stel een basis is voor V?

Ja, zeker voor eindigdimensionale vectorruimten zoals hier; maar zoals gezegd kennen we de dimensie hier in principe nog niet.

(iii) voortbrengend stel

Een element van V is een lineaire afbeelding die een element van B afbeeldt op een willekeurig element van Bericht bekijken

Bedoel je daarmee dat het een geldig bewijs is? Moet ik niets meer aantonen dan dat aan die voorwaarde voldaan is?

Om na te gaan of het een vectorruimte is, volstaat het na te gaan dat lineaire combinaties binnen de ruimte blijven samen met de voorwaarde dat de ruimte niet leeg is. Maar dat is steeds eenvoudig na te gaan met de nulvector en die zit erin.

Nu de volgende vraag:
Hoe toon ik aan dat de ruimte driedimensionaal is zonder weet te hebben van die basis?

Met de redenering van hierboven hebben we een voortbrengend stel van drie vectoren gevonden die bovendien lineair onafhankelijk zijn; de dimensie is dus 3 en dit stel vormt een basis.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

Overdruk

    Overdruk


  • >100 berichten
  • 214 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 november 2009 - 01:07

Oké, hartstikke bedankt.

Er is nog een vervolg op de vraag:

(ii)
Beschouw de afbeelding LaTeX die een afbeelding LaTeX afbeeldt
op de afbeelding g gede finieerd door LaTeX voor alle LaTeX .
Toon aan dat LaTeX een lineaire operator is, en bepaal de matrix van deze
operator ten opzichte van de basis die je in (i) hebt bepaald.

De vraag om aan te tonen of LaTeX een lineaire operator is, is dezelfde vraag als vragen om aan te tonen dat de afbeelding LaTeX lineair is, want ze gaat al van V naar V.

Nu ... je gaat dus gewoon van een afbeelding uit V naar een andere afbeelding uit V, naar een g(n), maar die n, mag je die dan willekeurig kiezen? of is dat het element waarvan je vorige afbeelding vetrok ofzo?

Ik zit al een kwartier te denken hoe ik dat moet aantonen, maar het lukt me niet meer... misschien is het omdat het zo laat is, misschien omdat ik geen inzicht heb... :eusa_whistle:

Kan je me een aanwijzing geven hoe ik zo'n lineaire afbeelding van een som van twee elementen van V anders kan schrijven ofzo?


Groetjes


Silke
Cogito ergo sum.

#10

Overdruk

    Overdruk


  • >100 berichten
  • 214 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 november 2009 - 01:29

Ga ff uit van het volgende:

LaTeX , f en q element van V.
LaTeX
LaTeX

Klopt dit of steun ik op iets dat ik nog niet weet?

Als het een juist bewijs is, dan is volgens mij dat met vooropzetten van scalairen ook niet zo moeilijk aan te tonen...

Maar denk niet dat het klopt tbh pffs... kga nu slapen :eusa_whistle:


grtjs

Overdruk
Cogito ergo sum.

#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 23 november 2009 - 14:24

Om te tonen dat alpha lineair is, moet je tonen dat het beeld van een lineaire combinatie gelijk is aan de lineaire combinatie van de beelden, in symbolen (met a en b in Q en elke f in V):

LaTeX
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#12

Overdruk

    Overdruk


  • >100 berichten
  • 214 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 november 2009 - 19:54

Mja, dat weet ik wel..
Cogito ergo sum.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures